Page 166 - 《振动工程学报》2026年第5期

1370 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

−1
dθ = M rdt （20） 因 素， 需 要 在 受 噪 声 干 扰 下 的 仿 真 数 据 上 验 证 B-
PINNs 进行动力学响应预测的鲁棒性。本研究考虑
dr = −∇U (θ)dt （21）
过程噪声与测量噪声两种噪声。过程噪声源于系统
综上所述，HMC 的主要步骤为：首先，随机选择 动态模型的不完整、不精确，会直接影响系统状态
初 始 参 数 θ 0 ， 然 后 从 高 斯 分 布 r ∼ N (0, M)中 采 样 动 的 演 化 过 程， 本 质 上 是 动 态 模 型 未 涵 盖 的 随 机 扰
量，采用 Leapfrog 法模拟轨迹，得到新状态 (θ , r )，计 动。将式 (7) 中来自外界随机轨道激励的干扰 f d 看
∗
∗
算接受概率 α，根据接受概率决定是否接受这个状 作一种过程噪声，由零均值带限白噪声代表，标准差
态，接受状态后，不断重复以上步骤，生成马尔可夫 用 σ f 表示。测量噪声主要是由传感器精度不足或数
链。相比传统的 MCMC 方法，HMC 显著提升了采样 据传输干扰引起的，与传感器直接相关。本研究的
效率，被广泛应用于贝叶斯推断中的复杂后验采样。 测量噪声设定为影响悬浮传感器的零均值带限白噪

声 [35] ，标准差用 σ表示。已有研究 [15] 验证了 B-PINNs
3.2 变分推断方法
在多种噪声类型下均具有鲁棒性，因此本文以具有
VI 是一种通过优化参数化的近似后验分布来实 代表性的高斯噪声为例，进行方法的有效性验证。
现贝叶斯推断的方法。该方法将复杂的高维积分问 分别在噪声干扰及无噪声干扰条件下采样 10 s 内气
题转化为可解的优化问题，通过引入简化分布 Q(θ,ζ) 隙、电流两种状态变量，取数据集的前 9 s 作为训练
以逼近真实的后验分布，从而高效实现模型预测结 集，训练 B-PINNs；取数据集的最后 1 s 作为测试集，
果的不确定性量化。 计算 B-PINNs 的预测误差。为了从定量的角度评价
常用高斯近似，假设 Q为可分解的高斯分布，各 算法的短时预测效果，训练集的拟合误差和测试集
维度独立： 的预测误差用相对误差 L 2 error 衡量，其定义为：
v
d θ ∏
t
Q(θ,ζ) = N(θ i ,ζ µ,i ,ln(1+exp(ζ ρ,i ))) （22） N t ∑ 2

y pred (t i )−y true (t i )
i=1
i=1
式中， ζ µ,i 为第 i 维的均值参数； ζ ρ,i 为第 i 维的标准差 L 2 error = v （25）
t
N t ∑
参数，并通过 ln(1+exp(·))转换确保标准差非负； d θ 表 |y true (t i )| 2
示参数 θ的维数。 i=1
VI 的 优 化 原 则 是 最 小 化 Q与 P的 KL（ Kullback- 式中，N t 为用于误差计算的样本点总数； y pred (t i )为基
Leibler）散度： 于 PINNs 或 B-PINNs 的预测结果； y true (t i )为状态变量
D KL (Q∥P) = E θ∼Q (lnQ(θ,ζ)−lnP(θ)−lnP(D|θ)) （23） 的真值。

综上所述，VI 的主要步骤为：首先进行初始化，
4.2 考虑测量噪声的响应预测
设定参数 ζ的初始值；接着进行 N 次迭代优化：从标
准正态分布 N(0,1)中抽取 M 个样本 z ，生成参数样本： PINNs 属于确定性建模框架，虽能在有限数据条
( j)
(j)
θ = ζ µ +ln(1+exp(ζ ρ ))⊙z (j) （24） 件下融合物理约束以提升预测精度，但无法对预测
基于样本估计损失 L(ζ)，利用损失函数关于设定参 量进行不确定性量化，也难以刻画外部扰动引入的
数的梯度 ζ L(ζ)和 Adam 优化器更新 ζ。最后，在训 随机性。在此基础上，B-PINNs 将贝叶斯推理融入
∆
( j)
练完成后，生成 M 个样本 θ ，用于估计后验期望。 PINNs 框架，使模型能够在保持物理一致性的同时，
变分推断将复杂的后验分布逼近问题转化为可扩展 对预测结果给出置信区间并分析不确定性来源。本
的优化问题，是贝叶斯推断中的重要工具。 节将在不同工况下，基于 B-PINNs 对悬浮系统的悬

浮气隙与励磁电流进行动力学响应预测，并与 PINNs
4 仿 真 结 果 及 分 析 的预测结果进行对比分析，以评估两种方法在精度
与不确定性表征方面的性能差异。

本节的仿真研究主要比较了 PINNs 和 B-PINNs 首先，在不同强度测量噪声条件下，基于 B-PINNs
两种预测方法，以突出贝叶斯推理在噪声条件下的 对悬浮系统的关键状态变量进行动力学响应预测。
改进效果与不确定性量化。鉴于 B-PINNs 相较于传 实现过程基于 TensorFlow 平台，采用 FCNN 架构，网
统方法的优势已在前期工作中 [15] 得到验证，因此本 络包含两个隐藏层，每层 64 个神经元，并使用 tanh
文直接基于 B-PINNs 进行响应预测。 激活函数。状态预测分别采用 VI 与 HMC 两种后验

采样方法。对于 VI 方法，总采样数设为 1000，优化
4.1 数据预处理
器选用 Adam，学习率为 0.001，迭代 30000 次以优化
考虑到传感器测量误差等真实世界存在的随机 网络参数；对于 HMC 方法，总采样数同样设为 1000，