Page 165 - 《振动工程学报》2026年第5期

第 5 期 倪 菲，等：物理信息机器学习驱动的高速磁浮列车悬浮系统动力学响应预测 1369

（1）用于概率不确定性量化的贝叶斯神经网络（Bayesian 布，以量化预测结果的不确定性。后验分布可以表
neural network，BNN）；（2）编码 ODE 控制规律的物理 示为：
信息约束。图 3 中，σ 为神经网络的激活函数， ˆ x为由 P(D | θ)P(θ)
p(θ | D) = ≈ P(D | θ)P(θ) （15）
代理模型预测得到的状态向量。利用 B-PINNs 固有的 P(D)
其中，证据项 P(D)作为归一化常数被省略。
解决随机微分方程（stochastic differential equation，SDE）
在 B-PINNs 框架下，针对参数后验分布的采样
的随机性与不确定性的能力，可以在外部扰动不为
成为实现稳健动力学响应预测的关键步骤。由于后
零的情况下进行参数识别。与 PINNs相比，B-PINNs
验分布通常具有高维、非线性和非高斯等复杂特
将 PINNs 中的 FCNN 替换为 BNN。在该框架中，网络
性，直接解析求解极为困难，故通过采样方法获取代
权重和偏置被视为服从先验概率分布的随机变量，
通过贝叶斯推断方法进行参数更新。 表性样本以刻画预测的均值、方差及置信区间，从
B-PINNs 的测量数据集 D由从传感器网络获取 而提供具有概率意义的预测结果。主流的 B-PINNs 采
的三个组成部分构成： 样方法主要包括哈密顿蒙特卡罗（Hamiltonian Monte-
Carlo，HMC）方法、变分推断（variational inference，VI）
（12）
D = D x(t) ∪D f(t) ∪D b(t)
方法等，各类方法在计算效率与准确性之间实现不
式中， x(t)为系统状态向量， x(t) = [x 1 (t), x 2 (t)] f(t) =
；
同权衡，适应不同的应用需求。给定 个后验样本
f 1 (t, x) ， f 2 (t, x) ； b(t)表示边界值 x 0 。三个测量数据
[ ] M
}
{ θ (i) M ，任意位置 t 处的预测统计量 x(t) 可以计算如下：
子集分别定义为： i=1
} N f M ∑
{ (i) } N x { (i) 1 (i)
(i)
(i)
D x(t) = (t , x ) ， D f(t) = (t , f ) ， E(x(t)) ≈ ˜ x(t,θ )，
x i=1 f M
i=1
i=1
} N b
{ (i) (i)
D b(t) = (t , b ) ， 1 M ∑( ) 2
(i)
b ˜ x(t,θ )−E(x(t)) （16）
i=1 Var(x(t)) ≈
M
(i)
其中， t (k ∈ {x,f,b})分别表示对应数据集 D k 中第 i 个 i=1
k
(k ∈ {x,f,b})分别表示
样本的采样时刻（时间坐标）；N k 3.1 哈密顿蒙特卡罗方法
相应数据子集所包含的样本总数。
假设三个测量数据子集都受到了加性高斯噪声 HMC 是一种高效的马尔可夫链蒙特卡罗（Markov
（additive Gaussian noise）的影响： chain Monte-Carlo，MCMC）方法，基于哈密顿动力学
 (i) (i) (i) 原理，结合数值积分和 Metropolis-Hastings 接受步骤，
 x = x(t x )+ϵ x ；i = 1,2,··· ,N x



 (i) 从复杂的后验分布中高效采样。其核心思想是引入
 (i) (i) （13）
 f = f(t )+ϵ ；i = 1,2,··· ,N f
 f f

 (i) 辅助的动量变量，并通过数值积分模拟物理系统的
 (i) (i)

b = b(t )+ϵ ；i = 1,2,··· ,N b
b
b
(i) 2
式 中， ϵ N(0,(σ ) ) ∗ ∈ {x,f,b}) 为 独 立 且 均 值 为 零 动力学轨迹，从而在复杂的后验分布中实现高效采
(i)
(
∗ ∗
样。该方法有效避免了传统随机游走带来的低效采
的高斯噪声项，其中 σ 为高斯分布中的方差。
(i)
∗ 样问题，提升了预测不确定性量化的准确性与计算
在贝叶斯框架中，采用参数 θ参数化的代理模型
效率。
˜ x(t,θ)来表示 x，其中 θ具有先验分布 P(θ)，则似然函
假设在给定观测数据集 D的条件下， θ的目标后
数可以计算如下：
验分布定义为：
P(D | θ) = P(D x | θ)P(D f | θ)P(D b | θ) （14）
P(θ | D)≃exp(−U (θ)) （17）
其中：
其中：
 ( ( ) ) 2 
1  (i) (i) 
∏  ˜ x t x ,θ − x 
N x  
P(D x | θ) = √ ( ) 2 exp− , U (θ) = −lnP(D | θ)−lnP(θ)。






i=1 (i)   ( (i) ) 2  
2π σ x
2 σ x
为从该后验分布采样，HMC 方法首先引入辅助
 ( ( ) ) 2 
1 ˜ (i)
∏   f t ,θ − f ¯ (i)   动量变量 r构造哈密顿系统：
N f   f  
P(D f | θ) = √ ( ) 2 exp− ( ) 2 ,




i=1 2π σ (i)   2 σ (i)   1
f
T
−1
f H (θ, r) = U (θ)+ r M r （18）
2
 ( ( ) ) 2 
1 ˜ (i)
∏   b t ,θ −b ¯ (i)  
N b   b   式中， M为质量矩阵，通常取单位矩阵 I。
P(D b | θ) = √ ( ) 2 exp− ( ) 2 ,




i=1 2π σ (i)   2 σ (i)  
b
b 随后，HMC 从如下联合分布 (θ, r)中生成样本：
变量上方加“~”表示代理模型的预测值；变量上方加 ( 1 )
T
−1
π(θ, r)∼ −U (θ)− r M r （19）
“–”表示观测样本值。 2
与 PINNs 相 比 ， B-PINNs 通 过 贝 叶 斯 推 断 机 制 ， 舍弃 r后， θ的边缘分布即为 P(θ | D)。其样本通
将神经网络参数视为随机变量，构建参数的后验分 过数值求解以下哈密顿动力学微分方程生成：