Page 290 - 《振动工程学报》2025年第11期

2748 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

环 [23-24] （如图 3 所示的红色闭合回线），而非陷入其他

4Rη 2 N j
⩽ A j ； j = 1,2 （23）

√ 稳态解。系统的相关全局动力学行为及分岔特性如

2 2 2
(4−3ΩN ) +16η
j 2 图 5 所示。
通过式 (23) 即可判断折奇点存在时，在不同放大 图 5 直观地揭示了失谐参数 σ 对系统动力学行
比 R 下振幅 A 应满足的下限值，具体如图 4 和表 2 所示。 为的决定性作用。当 σ = 0 时（如图 5(a) 与 (b)），系
统展现出稳定的 SMR。从零初始条件出发的数值解
3.0 A 1 3.0
轨迹（蓝色曲线）显示，系统状态首先运动至上稳定
2.5 A 2 2.5
(A 2 −A 1 ) 分支的鞍结分岔点 N 1 ，随即“跳跃”至下稳定分支；
2.0 2.0 接着沿下稳定分支运动至分岔点 N 2 后再次“跳跃”
A 1.5 1.5 (A 2 −A 1 ) 回到上稳定分支，从而形成一个不被其他不动点捕
1.0 1.0 获的、稳定极限环。其对应的相图 5（b）也表明，这
0.5 0.5 是一个吸引整个相空间的稳定极限环。然而，当 σ

0 0 增大至 5 时（如图 5(c) 与 (d)），尽管系统仍满足 SMR
1 2 3 存在的必要条件（即折奇点存在），但全局动力学特
R

性已改变。此时，SMR 极限环失去了其吸引力，从
图 4 不同放大比下的折奇点存在条件（η 2 =0.2，Ω=4/3）
零初始条件出发的解轨迹被吸引至低能量稳态不动
Fig. 4 Existence conditions of the fold singularity at different
点， σ 的增大使 SMR 最终消失。
magnification ratios (η 2 =0.2，Ω=4/3)
的成功激发需要一个
上述数值结果表明，SMR
表 2 不同放大比下的振幅阈值与分岔点 （η 2 =0.2，Ω=4/3） 更严格的充分条件。为了从理论上精确描述该条
Tab. 2 Amplitude thresholds and bifurcation points for 件， 可 借 鉴 相 图 的 几 何 特 性 构 造 一 个 庞 加 莱 映 射
different magnification ratios （η 2 =0.2，Ω=4/3） （Poincaré map） f：Θ → Θ。此处， Θ 为慢流形下稳定

放大比R A 1 A 2 N 1 N 2 分支上选定的一段横截面（初始区间，如图 5（b）和
1 0.176 0.984 （d）中红色线段所示）。该映射 f 描述了从 Θ上任意
2 0.352 1.969 0.595 0.990
一点出发的相轨迹，在经历一次完整的“跳跃-运动”
3 0.528 2.953
循环后再次回到该区间的位置。根据微分方程解的
表 2 的数据揭示了在固定参数 η 2 =0.2 和 Ω = 4/3 唯一性，该映射的性质直接决定了 SMR 的稳定性：
下，放大比 R 对系统鞍结分岔指标的影响。分析可 若映射 f 是一一到上的映射（one to one and onto），即
知，一个显著的特点是，代表鞍结分岔点位置的响应 f (Θ) = Θ，则意味着所有轨迹都能回归，形成稳定的
幅值 N 1 和 N 2 在此参数条件下保持恒定，不随 R 的 SMR 极 限 环 （ 对 应 图 5(a) 和 (b) 的 情 形 ） ； 反 之 ， 若
变化而变化，这表明系统的内在非线性响应结构具 f 为一一映射，则轨迹最终会收敛至其他不动点，导
有稳定性。然而，尽管分岔点的位置是固定的，但要 致 SMR 消失。因此，通过分析此映射的性质，即可
触发这一行为所需的外部激励阈值（以 A 1 和 A 2 为表 确定 SMR 存在的充分条件。定义各路径为 B 1 →C 、
1
1
1
1
征）却随着 R 的增大而提高，且对于 A 2 的增幅是显 C 1 →D 、 D 1 →A 、 A 1 →B ， 各 路 径 映 射 为 f 1 、 f 2 、 f 3 、
著的。这一结果清晰地表明，放大比 R 并未改变系 f 4 。映射 和 是类似的，这两个映射对应于稳定分
f 4
f 2
统发生 SMR 的内在特性（即分岔结构），但它改变了 支上的“缓慢”运动，可通过对式 (16) 积分得到。对
触发该响应所需的能量输入门槛，即 R 越大，就需要 于“ 跳 跃 ” 部 分 的 映 射 f 1 和 f 3 ， 可 利 用 “ 跳 跃 ” 前 后
越强的外部激励才能使系统“跳跃”至高效的能量耗 C (τ 1 ) 的不变性预测落点的坐标，如下式所示：
(
散状态。  8 1− √ 1−3η 2 )



 2
 Z A 1 =


 9Ω
 ( )

3.2 充分条件  √ 1−3η 2



 8 1+ 2

 Z C 1 =



前文导出的必要条件确保了 SMR 所需的动力学  9Ω  √ 2  （24）

  9η 2 1−3η 
  2 
   
 θ C 1 = θ B 1 −arctan 
结构即鞍结分岔的存在，但它并未包含失谐参数 σ    2 √ 2  


 1−15η + 1−3η
  2√ 2 

的影响，因此不能保证系统在任意初始条件下都能   9η 2 1−3η 2 



   2  
 
 θ A 1 = θ D 1 −arctan   √ 
被成功激发至 SMR 状态。为此，本小节旨在探讨系   −1+15η + 1−3η 2 2 
2

2
统进入 SMR 的充分条件。基于完整的慢变流形方 式中， Z A 1 和 Z C 1 为“跳跃”落点的幅值坐标； θ C 1 和
程 (16)，通过分析系统的相平面轨迹来考察失谐参 θ A 1 为“跳跃”后的幅角坐标； θ B 1 、 θ D 1 为“跳跃”前的
数 σ 的影响。其核心在于，判断不同失谐参数下系 幅角坐标。将各路径依次组合，即 f 4 ◦ f 3 ◦ f 2 ◦ f 1 = f ，
统的相轨迹是否能够收敛至描述 SMR 的稳定极限 便 可 得 到 各 路 径 的 映 射 和 Θ → Θ的 映 射 ， 具 体 如