Page 289 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 罗一帆，等：基底激励下杠杆型非线性能量阱减振系统的强调制响应分析 2747

图 3 中，黑色的 S 型曲线代表由式 (13) 决定的系 满足分子 f j (N,θ) = 0；j=1,2，而分母 D , 0 代表了可
统零点集，即“慢变流形”。该流形由两段稳定分支 直接求解的常规稳态响应；另一类是奇异不动点，此
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（上方的 A -B 和下方的 C -D ）以及一段连接它们的 类不动点发生在分子与分母同时为零（即 f j (N,θ) = 0；
不稳定分支组成。其中，点 B 和 D 是稳定与不稳 j=1,2 且 D = 0）的特殊情况，在动力学上常被称为折
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定分支的交汇点，对应于系统的鞍结分岔点。图中 奇 点 。 通 过 理 论 推 导 可 知， 折 奇 点 的 存 在 条 件
红色箭头所指示的闭合曲线是一条典型的系统运动 （ D = 0）与前述式 (14) 所定义的鞍结分岔点的条件
轨迹。具体过程为：当系统状态沿上方的稳定分支 完 全 等 价 。 因 此， 折 奇 点 的 存 在 是 系 统 能 够 出 现
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A -B 运动至鞍结分岔点 B 时，该稳态解消失，系统 SMR 的根本前提与必要条件。将满足折奇点存在的
被迫“跳跃”至下稳定分支的点 C 。随后，轨迹沿下 式 (17) 改写为矩阵形式有：
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稳定分支 C -D 运动，在到达另一个鞍结分岔点 D 1 ( )( sinθ ) ( )
a 11 a 12 b 1
= （18）
后，又“跳跃”回到上稳定分支的点 A ，从而完成一 a 21 a 22 cosθ b 2
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个完整的循环。这一包含了在分岔点处快速跳跃和 其中：
在稳定分支上缓慢运动的完整过程，即为系统的 SMR。 
 a 11 = −η 2 AR/8


 2
 a 12 = (−AR/8)/(1−3ΩN /4)




 2
 a 21 = (AR/8N)/(1−9ΩN /4)

3 强 调 制 响 应 存 在 的 条 件 



 a 22 = −η 2 AR/8N

2
2

 b 1 = (Nη 2 /8)(1−3ΩN /4)(2σ+R )+ 。



 2 2 2
 (Nη 2 /32)(3ΩR N +6σΩN −8σ)

3.1 必要条件  2 2 2



 b 2 = −1/32(1−9ΩN /4)(3ΩR N +



2
2
 6σΩN −8σ)+η /8(2σ+R )
2
在第 2 节中得到系统的 SMR 发生的必要条件是 2
通过计算式 (18) 的系数矩阵行列式可得：
存在一鞍结分岔点，在式 (14) 的求根式中只能体现
2
2
2
4
2
2
A R (16−48ΩN +27Ω N +16η )
鞍结分岔与阻尼 η 2 的关系，其他参数的信息未能体 det(a) = 2 =
1024N
现，所以需要分析更高阶时间尺度 τ 1 下系统解的行 2 2
A R （19）
为，考虑 τ 0 → ∞，则 lim φ 2 = φ 2 (τ 1 )，代入式 (10) 中的 16N D = 0
τ 0 →∞
第二式，整理可得： 根据式 (19) 可知，矩阵方程 (18) 中的 2 个方程线
2
∂ [ i(4−3Ω|φ 2 | −4iη 2 )φ 2 ] 性 相 关， 故 求 解 折 奇 点 的 存 在 条 件 仅 需 使 用 其 中
+
8
∂τ 1 1 个即可。本文选取第 1 个方程进行分析，令：
2 2 2 2 
[3ΩR |φ 2 | +σ(6Ω|φ 2 | −8)+4i(2σ+R )η 2 ]φ 2 iAR η 2 AR
= − 

 Gsinα = −
16 4  8


（15）  AR 1 3ΩN 2




 Gcosα = −
 ( − )
)
(
将式 (13) 改写为 H 1 (∂φ 2 /∂τ 1 )+ H 2 ∂φ /∂τ 1 = H 3 ，  √ 4 2 8

∗


2


2 2
 AR (4−3ΩN ) +16η 2

iθ
其中“*”表示取共轭，将 φ 2 = Ne 代入式（15）并分离  2 （20）
 G =

 32

实部和虚部可得：   



  
  
 2    −4η 2  
 ∂N 1 η 2 AR AR 1 3ΩN  −1    


  α = sin  √ 
 = [− sinθ − ( − )cosθ−     
 
   2 2 
 D 8 4 2 8   2 
 ∂τ 1  (4−3ΩN ) +16η
 2
 2
 Nη 2 1 3ΩN

 2
 ( )( − )(2σ+R )−

 代入第 个方程可解得 对折奇点的幅角：
 4 2 8 1 2



 Nη 2
 2 2 2  
 (3ΩR N +6σΩN −8σ)] 

   
 32  −1   4Rη 2 N 1  
 ∂θ 1 AR 1 9ΩN 2 η 2 AR   √   
 θ 1j = α 1 ±cos 



  2 2 2
 = [ cosθ+  A (4−3ΩN ) +16η
 ( − )sinθ − 
  1 2  ； j = 1,2
 ND 4 2 8 8
 ∂τ 1 
   
 2   4Rη 2 N 2 

 N 1 9ΩN 
  −1  
 2 2 2  θ 2j = α 2 ±cos   √ 
 ( − )(3ΩR N +6σΩN −8σ)−   

 2 2 2
 A (4−3ΩN ) +16η
 16 2 8
 2 2
 2

 Nη （21）

 2 2
 (2σ+R )]

8 其中， N 2 分别对应于图 2 中的 B 和 D 。为了
1
1
（16） N 1 和
2
4
2
式中， D = 1/4(η +1−3ΩN +27Ω N /16)。 满足折奇点存在的合理性， θ 1 j 和 θ 2 j 还需满足：
2
2

将式 (16) 改写为简洁的分式形式： 


 −4η 2
 ⩽ 1
  √
 ∂N f 1 (N,θ) 

  2 2 2

 = 
  (4−3ΩN ) +16η
  j 2
 ∂τ 1 D （17） （22）
 ∂θ f 2 (N,θ) 




 = 

  4Rη 2 N j
  ⩽ 1

∂τ 1 D 
 √

 2 2

2
对慢流形方程 (17) 的分析表明，系统存在两类  A (4−3ΩN ) +16η
j
2
性质不同的不动点：一类是普通不动点，此类不动点 显然第 1 式恒成立。对式 (22) 做简单变形可得：