Page 288 - 《振动工程学报》2025年第11期

2746 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

流形方程，为后续的 SMR 分析与参数设计提供高效 理可得：
且普适的理论工具。本文采用复变量平均法对系统  iε
 ˙φ 1 +iεσφ + (φ 1 −φ 2 )+


 1

iτ
，
iτ
进行分析。引入复变量 ϕ 1 e = ˙υ+iυ ϕ 2 e = ˙w+iw（其  2(1+ε)

2
2

 εη 2 (R −1) 3iεΩ(R −1) −ε(R+ε)A

 2
 φ 2 − |φ 2 | φ 2 =

中， ϕ j （j=1,2）为系统的慢变幅值， e 为系统的快变过  2 8 2
iτ

√  i

程， i = −1），代入式 (5) 并采用平均法消除快变过  ˙φ 2 +iεσφ + (φ 2 −φ 1 )+


2


 2(1+ε)
 2 2

程 e ，整理可得：  η 2 (1+εR ) 3Ωi(1+εR ) 2 ε(1−R)A
iτ



 φ 2 − |φ 2 | φ 2 =
2 8 2
 2
 iε εη 2 (R −1) （7）

 ˙ ϕ 1 +
 (ϕ 1 −ϕ 2 )+ ϕ 2 −

 2(1+ε) 2


 2
 3iεΩ(R −1) −ε(R+ε)A

 2 iεστ

 |ϕ 2 | ϕ 2 = e
 2 慢 变 系 统 的 强 调 制 响 应 机 理
 8 2 （6）
 2
 i η 2 (1+εR )

 ˙ ϕ 2 + (ϕ 2 −ϕ 1 )+ ϕ 2 −



 2(1+ε) 2


 2 第 节通过复变量平均法得到系统慢变幅值的
 3Ωi(1+εR ) ε(1−R)A 1
 2 iεστ

 |ϕ 2 | ϕ 2 = e

8 2 一阶复微分运动方程，为研究系统的 SMR，将式 (7)
令 φ j = ϕ j e −iεστ （j=1,2），代入式 (6) 进一步化简整 整理为单个二阶微分运动方程：
( 2 2 )
2
2
d d i(4+16εσ−3Ω|φ 2 | −3εΩR |φ 2 | −4i(1+εR )η 2 )φ 2
(φ 2 )+ −
dτ 2 dτ 8
2 2 2 2 2 2
ε(16εσ −3ΩR |φ 2 | +σ(8−6(Ω+εΩR )|φ 2 | )−4i(2σ+R (1+2εσ))η 2 )φ 2 εiA
= − (R−2εσ+2Rεσ) （8）
16 4
式中：“ |·|”表示模。 式中， Z = N 。
2
由 于式 (8) 中 的 非 线 性 项 含 有 远 小 于 1 的 ε项 ， 为了判断不动点的个数，对式 (13) 中的 Z求导可得：
为了精确分析系统的慢变微分运动方程，需要引入 27Ω 2
2
2
1+η −3ΩZ + Z = 0 （14）
适用于缓慢移动过程的时间尺度。采用多尺度法对 2 16
(
)
，
式 (8) 进行分析，定义： φ 2 = φ 2 (τ 0 ,τ 1 ,···) τ j = ε （j=0,1, ··· ）， 显然，式 (14) 的根 Z j = 8±4 1−3η /(9Ω)；j=1,2。
√
j
2
2
则微分算子变为： 由式 (14) 的求根公式可知，系统不动点的个数
 d ∂ ∂ √

 = +ε +··· 仅取决于阻尼比 η 2 。当 η 2 < 3/3 时，系统响应的幅


 dτ ∂τ 0 ∂τ 1 （9）

 d 2 ∂ 2 ∂ 2 值 函 数 呈 现 非 单 调 特 性， 这 是 鞍 结 分 岔 发 生 的 前


 = +2ε +···

dτ ∂τ [22]
 2 2
0 ∂τ 0 ∂τ 1 提。鞍结分岔 对应于稳定与不稳定不动点（即稳
将式 (9) 代入式 (8)，考虑时间尺度的前两阶可得：
态解）的“突然产生”或“湮灭消失”，其解释了系统
[ ]
 ∂ 2 ∂ 2
 0 i(4−3Ω|φ 2 | −4iη 2 )φ 2 响应的“跳跃”现象，并决定了高效能量转移的触发
 ε (φ 2 )+ = 0


 2
 ∂τ 8
 ∂τ 0
 0
 [ ] 阈值。因此，鞍结分岔的存在是系统出现 的必
 2 2 SMR
 ∂ ∂
 1 i(4−3Ω|φ 2 | −4iη 2 )φ 2

 ε 2 (φ 2 )+ +


 8 要条件，即只有当系统存在鞍结分岔，并有足够的能
∂τ 0 ∂τ 1 ∂τ 1
 [ 2 ]
 2 2
 ∂ i(16σ−3ΩR |φ 2 | −4iR η 2 )φ 2

 量输入时，系统才可能发生 SMR。为直观展示这一
 +


 8
 ∂τ 0

 2 2 2 2 动力学行为，可通过慢变流形方程 (13) 绘制系统的

 iAR
 [3ΩR |φ 2 | +σ(6Ω|φ 2 | −8)+4i(2σ+R )η 2 ]φ 2
 = −

16 4 运动轨迹（相平面图），如图 3 所示。
（10）
其中，第 1 式和第 2 式分别代表着不同时间尺度下 0.20
零点集
的平均系统，对第 1 式进行积分可得： 运动轨迹 B 1 C 1
2
∂φ 2 iφ 2 η 2 φ 2 3iΩ|φ 2 | φ 2 0.15
+ + − = C (τ 1 ) （11）
∂τ 0 2 2 8
式中，C 为时间尺度 τ 1 的函数。令 ∂φ 2 /∂τ 0 = 0，可得 4|C| 2 0.10
φ 2 的不动点满足：
2 0.05 A 1
iφ 2 η 2 φ 2 3iΩ|φ 2 | φ 2
+ − = C (τ 1 ) （12） D 1
2 2 8
显 然， φ 2 的 不 动 点 方 程 是 关 于 时 间 τ 1 的 函 数 。 令 0
0 0.5 1 1.5
φ 2 = N (τ 1 )e iθ(τ 1 ) （N 为系统慢变振幅，θ 为系统慢变幅 |φ 2 |

角），代入式 (12) 后，等号两边同时取模，有： 图 3 系统慢变幅值运动轨迹（R=1，η 2 =0.2，Ω=4/3）
3Ω 9Ω 2 Fig. 3 Motion trajectory of slow-flow amplitude of the system
2 2 3 2
Z +η Z − Z + Z = 4|C| （13）
2
2 16 (R=1，η 2 =0.2，Ω=4/3)