Page 291 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 罗一帆，等：基底激励下杠杆型非线性能量阱减振系统的强调制响应分析 2749

ODE 仿真轨迹 1.2
0.25 零点集
1.0
0.20 N 2
0.8
4|C| 2 0.15 N 0.6 N 1 θ 1 θ 2

0.10
0.4
0.05 0.2

0 0
0 0.5 1.0 1.5 0 π/2 π 3π/2 2π
|φ 2 | θ
(a) 系统慢变运动轨迹 (σ=0) (b) 系统慢变相图 (σ=0)
(a) Motion trajectory of slow-flow amplitude of the system (σ=0) (b) Slow-flow phase portrait (σ=0)
ODE 仿真轨迹 1.2
0.25
零点集
1.0
0.20 N 2
0.8
4|C| 2 0.15 N 0.6 N 1 θ 1 θ 2

0.10
0.4
0.05 0.2
0 0
0 0.5 1.0 1.5 0 π/2 π 3π/2 2π
|φ 2 | θ
(c) 系统慢变运动轨迹 (σ=5) (d) 系统慢变相图 (σ=5)
(c) Motion trajectory of slow-flow amplitude of the system (σ=5) (d) Slow-flow phase portrait (σ=5)

图 5 系统慢变流形（R=2，Ω=4/3，A=0.8，η 2 =0.2，ε=0.01）
Fig. 5 Slow-flow manifold of the system (R=2，Ω =4/3，A=0.8，η 2 =0.2, ε=0.01)
图 6 所示。 SMR 稳定极限环的全局吸引性和鲁棒性。然而，当
图 6 中的庞加莱映射为判断 SMR 的充分条件提 失谐参数增大至 σ = 5 时，系统的全局动力学结构发
供了直观的几何判据。在满足必要条件（即折奇点 生了质变，相平面上（图 6(b)）在原极限环附近出现
存在条件）且失谐参数 σ = 0时，庞加莱映射 表现为 了一个新的稳定焦点。这导致庞加莱映射的像 f (Θ)
f
从初始区间 Θ 的一一到上映射，如图 6(c) 所示。这 仅为 Θ 的一个微小子集（如图 6(d)），绝大部分轨迹
意味着 Θ 是一个不变集，从该区间出发的任何轨迹 被稳定焦点捕获而无法返回。更重要的是，即便有
在 经 历 一 次 循 环 后 都 将 返 回 此 区 间， 从 而 确 保 了 少数轨迹返回，该映射的迭代也将使其迅速逃离，表

1.2 1.2
C 1 f 2 C 1
1.0 1.0 f 2
D 1 D 1
0.8 f 1 0.8 f 1
f 3
f 3
N 0.6 N 0.6
B 1 B 1
θ 1 θ 2 θ 1 θ 2
0.4 f 4 0.4
f 4
0.2 0.2
A 1 A 1
0 0
0 π/2 π 3π/2 0 π/2 π 3π/2
θ θ
(a) σ=0 (b) σ=5
Θ Θ

Θ Θ
(c) σ=0 (d) σ=5

图 6 庞加莱映射（R=2，Ω=4/3，A=0.8，η 2 =0.2，ε=0.01）
Fig. 6 Poincaré map (R=2，Ω=4/3，A=0.8，η 2 =0.2，ε=0.01)