Page 287 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 罗一帆，等：基底激励下杠杆型非线性能量阱减振系统的强调制响应分析 2745

程。在此基础上，通过对鞍结分岔与霍普夫分岔在 然后，通过达朗贝尔定理和牛顿第二定律分别
关键参数空间中的演化规律分析，从理论上揭示放 对主结构和 NES 内部进行分析，可以建立 LNES 与
大比拓宽 SMR 有效频率带宽的内在机理。最后，通 单自由度结构的耦合动力学模型如下：
过在简谐激励与真实地震波激励下的时域数值仿  ¨ ˙
 m 1 X 1 (T)+c 1 X 1 (T)+k 1 X 1 (T)+R[c 2 (R ˙ X 1 (T)−


 ˙ X 2 (T))+k 2 (RX 1 (T)− X 2 (T )) ] = −m 1 X g (T)
3
¨

真，验证 LNES 的减振性能。 


 m 2 X 2 (T)+c 2 ( ˙ X 2 (T)−R ˙ X 1 (T ))+
 ¨



 3
k 2 (X 2 (T)−RX 1 (T )) = −m 2 X g (T)
 ¨
1 系 统 模 型 （3）
定义参数 ω j = √ k j /m j （j=1,2）， ¨ X g = Fcos( ˜ωT)，其
基底激励下 LNES 与单自由度结构的耦合模型 中 F为 加 速 度 ， 单 位 为 m/s 。 对 式 (3) 做 尺 度 调 整 ：
2
如图 2 所示。为方便分析，将主结构简化为一单自 τ=ω 1 T ，引入长度量纲 D 1 ，为计算方便取 D 1 = 1（均采
由度系统，其质量、阻尼和刚度分别为 m 1 、c 1 和 k 1 。 用国际单位制）。定义无量纲参数（具体如表 1 所
LNES 主要包括 1 个杠杆放大装置（amplification device， 示）并代入式 (3) 整理可得无量纲系统，运动方程如
AD）和 1 个 NES，通过杠杆放大装置连接主结构和 NES。 下式所示：

m 2 c 2 和 k 2 分别为非线性能量阱的质量、阻尼和刚  ¨x 1 (τ)+εη 1 ˙x 1 (τ)+ x 1 (τ)+εRη 2 (R˙x 1 (τ)−
、


 3

 ˙ x 2 (τ))+εRΩ(Rx 1 (τ)− x 2 (τ)) = −εAcos(ωτ)

度。主结构和 NES 的位移分别为 X 1 (T)和 X 2 (T)。 ¨ X g 
 ¨x 2 (τ)+η 2 (˙x 2 (τ)−R˙x 1 (τ))+



3
为基底激励加速度，r 1 为 AB 的长度，r 2 为 CB 的长度。  Ω(x 2 (τ)−Rx 1 (τ)) = −εAcos(ωτ)

（4）

主结构 杠杆放 非线性
大装置 能量阱 表 1 无量纲参数
Tab. 1 Dimensionless parameters
k 1

k 2
无量纲参数 参数含义
m 1
m 2
AD
ε = m 2 /m 1 ≪ 1 LNES吸振器与主结构的质量比
:
X g
c 1 c 2
η 1 = c 1 /(m 2 ω 1 ) 主结构阻尼比
(a) LNES系统动力学模型
η 2 = c 2 /(m 2 ω 1 ) LNES阻尼比
(a) LNES system dynamic model
C A = F/(εD 1 ω ) 外激励振幅
2
r 2 RX 1 1
2
Ω = ω /ω 2 非线性能量阱与主结构的频率比
c 2 2 1
r 1 k 2
m 1
X 1
B m 2 ω = ˜ω/ω 1 外激励频率
X 2
A
k 1 c 1
由于本文研究的是系统在外激励频率 ω为 1∶1
(b) 杠杆装置示意图
（
(b) Schematic diagram of the lever device 主共振下的 SMR，假设外激励频率为 ω = 1+εσ σ为

，
失谐参数），引入变量代换 ν = Rx 1 +εx 2 w = Rx 1 − x 2 ，
图 2 基底激励下 LNES 与单自由度结构的耦合模型
并代入式 (4)，忽略主结构阻尼，整理可得：
Fig. 2 Coupled model of a SDOF structure with a LNES
 ν+εw
subjected to the base excitation  ¨v+ 2 2 3


 +εη 2 (R −1) ˙w+εΩ(R −1)w =
 1+ε



为方便分析，杠杆被理想化为无质量的刚性杆，  −ε(R+ε)Acos[(1+εσ)τ] （5）

 ν+εw
 2 2 3
 ¨w+

R = r 2 /r 1 定义为放大比。根据杠杆原理，当主结构发  1+ε +η 2 (1+εR ) ˙w+Ω(1+εR )w =



 ε(1−R)Acos[(1+εσ)τ]

生位移 X 1 (T)（T 为时间的量纲）时，引起 NES 端发生
位移 −RX 1 (T)。除此之外，NES 端自身发生位移 X 2 。 复变量平均法作为一种分析非线性动力学系统
因此，作用在 NES 非线性弹簧和阻尼器上的相对位 的近似解析方法，该方法虽然基于“弱”非线性的假
移为（ X 2 −RX 1 ）（如图 2(b) 所示）。 因此，可以得到 设， 但 在 实 践 中 被 证 明 对 具 有 强 非 线 性 特 征 的
NES 端对杠杆的作用力 F NE 为： NES 同样有效 [20-21] 。其核心优势在于通过引入复变
S
量，将系统原本的二阶非线性微分运动方程转化为
F NES = c 2 [ ˙ X 2 (T)−R ˙ X 1 (T)]+k 2 [RX 1 (T)− X 2 (T)] 3 （1）
关于振幅和相位缓慢变化的一阶复微分方程。这种
为使杠杆保持力矩平衡，主结构必须通过连接
对快慢时间尺度的分离不仅极大地简化了系统模
点 对 杠 杆 施 加 一 个 力 。 根 据 力 矩 平 衡 原 理， 该 力
型，而且有效预测了稳态响应及分岔等关键非线性
F p 与 F NES 的关系为：
现象。相较于难以描述 SMR 非平稳特性的谐波平
（2）
F p ·r 1 = −F NES ·r 2 衡法以及推导过程相对繁琐的一般扰动法，该方法
即可得 F p = −RF NES 。 能以更紧凑的形式一步到位地获得研究所需的慢变