Page 111 - 《振动工程学报》2025年第9期

−0.6 混沌
−1.2

ω
第 9 期 屈鸣鹤，等：含常数激励的分数阶非线性隔振系统幅频特性及周期运动多样性研究 2041
ω
正扫频
ω

6 并在多次 IPDB 诱导下进入 P AS1 -1 运动。
混沌 P AS2
如图 13(b) 所示，当激励频率开始减小，系统在
4 T=1
x 1 T=2 多次 PDB 诱导下由 P AS2 -1 进入 P AS2 -混沌，最大 Lyapunov
混沌 T=4 T=2
2 指数大于 0；当激励频率为 ω = 1.8432，系统在 诱
T=1 BC
导下由 P AS2 -混沌进入 运动；当激励频率继续减
0 P AS2 -1
TLE −0.6 小，系统在多次 PDB 诱导下先进入 P AS2 -混沌，然后
在 IPDB 的诱导下进入 P AS2 -4 运动，在多次 PDB 诱导下
−1.2
再次进入 P AS2 -混沌；当激励频率为 ω = 1.454，系统在 BC
1.4 1.6 1.8
ω 诱导下由 P AS2 -混沌进入 P AS2 -3 运动；当激励频率继续
(b) 倒扫频(1.3<ω<2.0)
(b) Backward sweep frequency(1.3<ω<2.0) 减小，系统先在多次 PDB 诱导下进入 P AS2 -混沌，后经

过多次 IPDB 诱导下进入 P AS2 -1 运动，最大 Lyapunov
图 13 局部分岔图及 Lyapunov 指数谱
指 数 小于 0； 当 激 励 频 率 为 ω = 1.3685， 系 统 在
Fig. 13 Partial bifurcation diagrams and Lyapunov exponential SNB
spectrum 诱导下出现向下跳跃现象，但始终保持 P AS2 -1 运动。
下由 P AS1 -混沌进入 P AS1 -1 运动；当激励频率继续增 系统在联合激励作用下周期运动与混沌转迁过程
大， 系 统 在 BC 诱 导 下 由 P AS1 -1 运 动 进 入 P AS1 -混 沌 ， 的相轨迹与 Poincaré截面上的吸引子分布如图 14 所示。

4 P AS2 -1 4 T=1 4 P AS2 -混沌
3 4
2 3 P AS1 -1
x 2 x 2 x 2 2 x 2 2
0 P AS1 -1 2 1
−2 5.0 T=2 0
6 −6 5 4 −5 5 4 −8
4 2 0 0 3 2.5 5 0 3 2 0 −4
x 1 0 −2 6 x 1 · x 1 −5 2 x 1 · x 1 0 x 1 · x 1 1 0 8 4 x 1 ·
(a) ω=2 (b) ω=1.95 (c) ω=1.9 (d) ω=1.85
4 P AS2 -1 4 P AS1 -1 4 P AS1 -1 4 P AS1 -1
2 2 x 2 2 2
x 2 0 P AS1 -1 x 2 0 0 x 2 0
−2 −2 P AS2 -1 −2 P AS2 -4 −2 P AS2 -混沌
6 0 0 2 4 −8 −4 0 −2 −10 0 2 0 −2 −8 −4 0 −2
· −6 −2 x 1 · 0 4 8 4 2 · 10 4 · 0 4 8 4 2
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
(e) ω=1.39 (f) ω=1.414 (g) ω=1.412 (h) ω=1.42

图 14 联合激励系统的相图与 Poincaré截面图
Fig. 14 Phase diagrams and Poincaré section diagrams of the system under combined excitation

上述研究可为系统分别在简谐激励作用下、简 （3）隔振系统存在周期运动多样性，在简谐激励
谐激励和常数激励联合作用下的动力学行为预测提 作用下系统转迁过程中相继出现 PFB、SNB、PDB、
供参考。 CIC 和 BC 等多种分岔类型，多态共存区相轨迹呈现

为反对称形状；而系统在常数激励与简谐激励联合
5 结 论 作用下转迁过程中相继出现 SNB、PDB 和 BC 等多
种分岔类型，但并未出现 PFB 和 CIC，多态共存区相
（1）分数阶非线性隔振系统在常数激励和简谐 轨迹不再呈现反对称形状。系统在多种分岔类型的
激励联合作用下，采用谐波平衡法所得近似解与多 诱导下甚至会出现混沌，并且周期运动向混沌转迁
种数值方法结果接近，幅频曲线有确定的骨架线。 过程不可逆，Lyapunov 指数可判别多态共存区域系
当幅频响应存在五解共存时，幅频曲线及骨架线的 统的运动状态。
形态呈现出先向左侧倾斜后向右侧倾斜的趋势，系 在实际工程应用中，可根据上述研究内容对不
统呈现为软硬特性共存，骨架线存在多解共存现象。 同类型激励作用下的隔振系统进行参数优化设计，
（2）不同参数会影响分数阶非线性隔振系统幅 避免系统出现多态解共存现象以及分岔和混沌，使
频曲线及骨架线的形态，同时会影响主共振软、硬 系统隔振性能更佳。
特性滞后区的频带范围。分数阶系数 λ会改变幅频
曲线多态解共存的频带范围，甚至较大的分数阶系 参考文献：
数 λ还会抑制幅频曲线向右侧倾斜的趋势，使幅频曲
线仅呈现出向左倾斜的情况；随着分数阶阶数 p 的增 [1] 唐振寰，罗贵火，陈伟，等. 橡胶隔振器黏弹性 5 参数分
大，幅频曲线主共振峰值呈现出先降低后升高的趋势。 数导数并联动力学模型 [J]. 航空动力学报，2013，28（2）：