Page 108 - 《振动工程学报》2025年第9期

2038 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

解共存现象。由图 7(c) 可知，随着参数 ξ的增大，主
共振峰值先降低后升高，主共振峰值逐渐向高频区 4 多 源 激 励 下 的 周 期 运 动 转 迁 规 律
转迁，幅频响应始终存在五解共存现象，其中五解共
存频带范围先减小后增加，并且频带逐渐向高频区 下面探讨隔振系统在常数激励和简谐激励联合
转迁。由图 7(d) 可知，随着参数 ε的增大，主共振的 作用下周期运动转迁规律，比较不同类型激励源对
峰值下降，主共振频率增大，五解共存频带范围逐渐 系统动力学行为影响的异同。

增大且频带向高频区转迁。由图 7(e) 可知，随着参
4.1 简谐激励作用下的周期运动多样性
数 p 的增大，主共振峰值先下降后升高，主共振频率
先减小后增大，五解共存频带范围先减小后增大。 首先探讨系统仅在简谐激励作用下的动力学特
由图 7(f) 可知，受常数激励影响出现软、硬特性共存 性。为方便描述系统运动规律，定义符号 P ASi -T，用
现象，随着参数 λ的增大，幅频曲线主共振峰值下降， 于 描 述 系 统 的 运 动 状 态， 其 中 ， P AS 表 示 系 统 在 第
i
且共振峰值沿骨架线移动，主共振频率先减小后增 i 个位置上的运动轨线，T 为系统运动周期状态。选
大，五解共存现象消失，幅频曲线逐渐向左侧倾斜， 取 一 组 基 准 参 数： µ k = 0.1 f = 10 ξ = 0.2 ε = 0.5，
，
，
，
，
仅有软特性共振滞后区。由图 7(g) 可知，随着参数 λ = 0.01 p = 0.5，其中常数激励 =0。多初值扫频可
f 0
f 的增大，主共振峰值增大，主共振频率增大，而幅频 得到系统在周期运动转迁过程中相继出现叉式分岔
曲线的骨架线没有改变，较大的参数 f 甚至可以抑制 （PFB）、鞍结分岔（SNB）、倍周期分岔（PDB）、激变
主 共 振 幅 频 响 应 五 解 共 存 现 象 出 现 。 由图 7(h) 可 分岔（CIC）和边界激变（BC）等多种分岔类型，如图 8 所示。

知，随着参数 f 0 的增大，主共振峰值增大，主共振频 多态共存
4 SNB
率增大，当参数 f 0 由 10 增大至 30 时，主共振幅频曲
T=1
线 出现 2 个 三 解 共 存 频 带 ， 当 参 数 f 0 继 续 增 大 至
3 PFB P AS2 -1 T=1
50 时，主共振幅频响应存在五解共存频带，出现软、 x 1 SNB CIC
硬特性共存现象，可见较大的参数 f 0 甚至可以激发 2 BC P AS1 -1
幅频响应出现多态解共存现象。 PFB
PDB

1
多态共存
3 系 统 运 动 状 态 及 稳 定 性 判 别 0.5 1.0 1.5
ω

选取相位面 σ τ = {(x, ˙x) ∈ R ×S,θ mod 2π = 0}（R ×S 图 8 多态共存及其相邻区域转迁规律（简谐激励）
2
2
表示笛卡尔积空间，θ 表示相位）作为 Poincaré截面， Fig. 8 Multi state coexistence and the migration law of its
adjacent regions (harmonic excitation)
定相位面 Poincaré映射可反映系统运动的状态。在
定相位面 Poincaré映射上取稳态运动中某一时刻稳 扫频过程中系统出现三态共存现象。倒扫频开
态响应一个周期后的时间 t 0 为初始值：X(t 0 )=X(t+T)， 始时，系统处于 P AS2 -混沌和 P AS1 -1 共存；随着激励频
其中 X 为动态平衡条件下系统在相空间中某时刻的 率的减小，在逆激变分岔（ICIC）诱导下由 P AS2 -混沌
状态，且满足 X=(x 1 , ˙ x 1 ,x 2 ) 。在 时刻分别对相轨迹 分别进入 P AS2 -混沌和 P AS3 -混沌；当激励频率继续减
T
t 0
的 点 ˜ x 1 = x 1 +∆x 1 、 ˙ ˜ x 1 = ˙x 1 +∆˙x 1 、 ˜ x 2 = x 2 +∆x 2 施 加 微 小，在多次逆倍周期分岔（IPDB）诱导下，P AS2 -混沌和
小的扰动，随着时间的推移，通过数值计算方法可以 P AS3 -混沌分别进入 P AS2 -1 运动和 P AS3 -1 运动；当激励
得到未扰系统和扰动系统两个轨迹之间的分离变化 频率为 ω = 1.484，在逆叉式分岔（IPFB）诱导下系统
率 。 一 个 周 期 初 到 周 期 末的 Poincaré映 射 关 系 为 ： 由 P AS1 -1、 P AS2 -1 和 P AS3 -1 三 态 共 存 转 变 为 P AS1 -1 和
˜
X(t 0 +T)=A X(t 0 )， 其 中 ， A为 不 动 点 处 的 Jacobi 矩 阵 ， P AS2 -1 共存，如图 9(a) 所示。
X为当前时刻的状态矩阵，X=(x 1 , ,x 2 ) ，通过 QR 分 此外，正扫频过程中系统在 CIC 诱导下进入 P AS1 -
˜
T
˙ x 1
解矩阵 A的特征值即可求得 Floquet 乘子的特征值 [28] 。 混沌，出现多态共存现象；当激励频率继续增大，在
利用上述方法对图 6 中幅频曲线上多态解共存边界 多次 IPDB 诱 导 下 进 入 P AS1 -1 运 动 ； 当 激 励 频 率 为
点的特征值进行求解，Floquet 乘子特征值的模接近 ω = 1.341，在 SNB 诱导下出现向上跳跃现象；当激励
1，其余特征值的模均小于 1，判定系统在跳跃点处发 频率继续增大，在 IPFB 诱导下进入 T=1 运动状态，
生鞍结分岔。同理，根据未扰系统和扰动系统在一 系统多态共存现象消失。在倒扫频过程中，系统在
定 时 间 后 的 分 离 变 化 率， 可 得 系 统 的 Lyapunov 指 PFB 诱导下进入 P AS2 -1 运动；当激励频率为 ω = 1.319，
数。通过将最大 Lyapunov 指数与零比较判定系统处 在 SNB 诱导下出现向上跳跃现象；当激励频率继续
于稳定的周期运动状态或混沌运动状态 [29] 。 减小，在多次 PDB 诱导下进入 P AS2 -混沌，在 CIC 诱导