Page 104 - 《振动工程学报》2025年第9期

2034 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

似看作线性弹性材料，超出这个范围表现为非线性 谐激励作用下，非线性系统存在周期运动多样性，运
弹 性 [1-4] 。 为 准 确 描 述 橡 胶 材 料 力 学 特 性 ， 刘 海 平 动转迁过程更加复杂，甚至存在多态共存现象。刘
等 [3] 提出用整数阶 Zener 模型来描述材料的松弛和 晓君等 [21] 对非自治分数阶 Duffing 系统的激变现象
蠕变特性，然而整数阶模型无法描述材料的频率相 进行了研究。SHEN 等 [22] 研究了单自由度分数阶非
关性。随着分数阶微积分的发展，常宇健等 [5] 提出 线性隔振系统参数对幅频特性的影响规律。此外还
一种含有分数阶微分的金属橡胶黏弹性本构模型， 有大量文献总结了分数阶非线性系统在简谐激励下
建立了分数阶非线性动力学模型，试验验证了分数 的周期运动转迁规律 [23-26] 。但针对分数阶非线性隔
阶模型的准确性，结果表明分数阶模型不仅可以描 振系统在常数激励与简谐激励联合作用下的周期运
述黏弹性材料的本构关系，还可以描述黏弹性材料 动多样性及转迁规律有待进一步揭示。
的频率相关性 [5-7] 。针对隔振系统的强非线性，秦浩 为进一步揭示分数阶非线性隔振系统在常数激
等 [8] 比较了 Caputo 定义下的分数阶 Duffing 振子解 励与简谐激励联合作用下的动力学响应，本文采用
析解和数值解，验证了分数阶项化简为一阶三角函 分数阶非线性 Zener 模型描述黏弹性材料的本构关
数形式的系统产生分岔和混沌的必要条件。孔凡 系，探讨隔振系统在联合作用下的动力学响应。首
等 [9] 采用谐波平衡法研究了简谐激励下同时具有滞 先求解分数阶微分项在常数激励和简谐激励联合作
回特性和分数阶阻尼单元系统的稳态响应，结合不 用下的一阶近似解；其次采用谐波平衡法求解系统
的稳态响应，数值仿真系统的动力学性能，并对近似
同方法求解系统的迟滞回线，并发现谐波平衡法与
解析结果进行比较，探讨参数对幅频响应多解共存
逐 步 积 分 法 得 到 的 相 关 结 果 吻 合 较 好 。ZHANG
频带变化的影响规律；最后通过分别数值仿真分数
等 [10] 采用高次谐波平衡法求解了含负刚度几何非线
阶非线性隔振系统在简谐激励和常数激励两种不同
性系统的动力学响应，并对其隔振性能进行了深入
类型激励形式下的周期运动多样性，比较系统动力
分析。余慧杰等 [11] 通过三次非线性函数描述金属橡
学响应的差异，并结合 Lyapunov指数总结周期运动
胶的非线性特性，用分数阶模型描述材料黏弹性，所
与混沌转迁规律。
建立的分数阶非线性模型可以更加准确地描述橡胶
材料的动态特性。
在非线性振动中存在多种激励形式，针对不同 1 模 型 建 立 及 稳 态 响 应 近 似 解 析 解
类型的联合激励形式，孔凡等 [12-13] 提出一种用于求
解确定性周期与非平稳随机激励联合作用下单自由 1.1 分数阶非线性 Zener 模型及运动微分方程
度非线性系统非平稳响应的统计线性化方法，随后
采用分数阶非线性 Zener 模型描述黏弹性材料
又提出一种计算确定性和随机激励联合作用下含分
力 学 特 性， 如 图 1 所 示 。 图 中 ， M 为 系 统 的 质 量 ；
数阶阻尼的非线性系统稳态响应的半解析方法。季
F 为 简 谐 激 励 幅 值 ； Ω为 简 谐 激 励 频 率 ； T 为 时 间 ；
颖等 [14] 讨论了参外联合激励复合非线性振子的动力
F 0 为常数激励幅值；X 1 为质量块的位移；X 2 为节点
学行为，探讨了振子在不同条件下发生同宿、异宿
的位移；C 为黏性阻尼系数；F K 为三次非线性弹性恢
分岔的必要条件。CAI 等 [15] 研究了范德波尔（VDP）振
复力；K 1 为线性弹性恢复力刚度系数；K 2 为线性弹
荡器在多源简谐激励联合作用下的动力学行为。张
簧刚度系数；K 3 为非线性弹簧刚度系数；D 为分数阶
晓芳等 [16] 探讨了参外联合激励下一类混沌系统的动
微分项；K 为分数阶项的系数。
力学机理，发现引入参外联合激励频率远小于固有
频率时系统会出现簇发振荡等特殊行为。 F 0 +Fcos(ΩT)
常数激励是普遍存在于实际工程中的一种力的 X 1 M
作用形式，如用于飞行器发动机转子的机动附加载
荷、含轴承转子元件系统的径向载荷以及机械系统 K 1 F K =K 2 X 1 +K 3 X 1 3
运行无法忽略的重力等，在动力学建模中都可等效 <K, D>
为常数激励的形式，其中为改善转子轴承的隔振性 X 2 C
能，水润滑橡胶轴承被广泛应用于大型船舶的动力
推进系统 [17] 。为进一步探讨橡胶隔振系统在常数激 图 1 分数阶非线性 Zener 模型
励与简谐激励联合作用下的动力学响应，罗钢等 [18] Fig. 1 Fractional-order nonlinear Zener model

针对含常数激励的非对称 Duffing 系统开展了鞍结 根据牛顿第二定律可得系统的动力学方程为：
分岔特性研究，探讨了常数激励变化对系统软、硬 { p
M ¨ X 1 + K 1 (X 1 − X 2 )+ F K + KD [X 1 (T)] = F 0 + F cos(ΩT)
T
特性的变化规律。HOU 等 [19-20] 初步揭示了常数激励 C ˙ X 2 − K 1 (X 1 − X 2 ) = 0
对 Duffing 系统基本动力学性质的影响规律。在简 （1）