Page 116 - 《振动工程学报》2025年第9期

2046 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

(w )
b
m
别代表 PM 和两个 PM 中点处的垂直和水平距离， − t g R t
R
I = e L u(t)e L dt +C （4）
采用文献 [11] 中的方法计算得出 H = 12.5 mm，D = L
式中，R 和 L 为线圈的总电阻和等效电感；g 表示增
25.8 mm。 θ 代 表 PM 与 水 平 面 间 的 夹 角 ， θ = 80°。
b
该配置可使永磁体间产生具有硬化特性的磁负刚度 益；u 为滑模控制律，可用于控制电压，从而产生控
效果，从而与线性弹簧耦合以实现 QZS 特性。线性 制力；C 为积分常数。

刚度系数 k 定义为 k = k 11 +k 12 ，其中 k 1 为弹簧的刚度，
1
2 控 制 器 设 计
k 1 为磁力的等效线性刚度系数。采用文献 [11] 中的
2

方法计算了磁体间的磁力并利用多项式拟合方法确
2.1 滑模控制器设计
定了 k 1 和非线性刚度系数 k 3 ，其中 k 12 = −775 N·m ,
−1
2
k 3 = −1.75× 106 N·m 。 SMC 对系统扰动和外部干扰具有良好的鲁棒
−3

性，适用于非线性系统。事实上，SMC 已经得到了
z
广泛的关注和应用。该方法的主要思想是在相空
Mm
PM m1
间中设计一组滑模曲面和一系列开关函数。这些开
关由控制器快速转动，以驱动所有状态向滑模表面
PM m2
(也称为切换表面) 移动，并使状态沿着期望的轨迹
作动器
Mm H 滑动以变得稳定。因此，SMC 的第一步是定义滑模
PM b1 PM b2 b3 表面 s(t)，它代表了期望的全局行为，如稳定性和跟
θ PM
踪性能。
Mb Mb Mb 本文选取的 s(t)是关于跟踪误差的方程:
d n−1
D s(e;t) = ( +a) e(t) （5）
dt

，
图 2 E-QZS 内部的磁铁配置 式中， e(t)为跟踪误差, e(t) = x(t)−r(t) r(t)为目标值，
Fig. 2 Configuration of the PMs inside the E-QZS 在本研究中 r(t) = 0，即 e(t) = x(t)；a 为调优参数，这是

由设计人员选择的，值得注意的是，a 必须大于零，
1.2 E-QZS 理论建模 以保证 lim x(t) → 0, 并决定了系统在滑动面上的收敛
t→∞
速度； n为系统阶数。
E-QZS 的理论模型如图 3 所示。图中，x 和 y 为
SMC 控制律 u(t)由两个可加部分组成：连续部
负载板和底座的绝对位移。当 E-QZS 受到基础激励
分 u C (t)和不连续部分 u D (t)：
y = y 0 cos(ωt)时，控制方程可以写为：
3 （1） u(t) = u C (t)+u D (t) （6）
m¨x+c˙x+kx+k 3 (x−y) = c˙y+ky+ F e
式中，m 为待隔离额定质量； y 0 和 ω分别为基础激励 式中， u C (t) = f(x(t)),其中 f(x(t))为被控变量的函数。
的幅值和频率；c 为黏性阻尼系数； F e 为电磁作动器 u D (t) 在滑动表面上不连续，具有非线性特性，代表控
产生的控制力 [34] ： 制律的开关，一般设计为 u D (t) = Ksign(s(t))，因为它
F e = C e I(t) （2） 允许结构之间以假设的无限快的速度变化。但是在
式中，C e 为机电耦合系数；t 为时间。 实践中，由于控制计算存在时间延迟或物理执行器
由式 (1) 可 以 看 出 隔 振 器 的 隔 振 性 能 主 要 由 的限制，从而导致滑动表面周围出现抖振，这在实践
F e 决定。作动器的控制方程为： 中 是 不 可 取 的 。 为 了 减 少 抖 振， 可 以 将 符 号 函 数

L ˙ I(t)+RI(t) = gu(t) （3） sign(·) 替换为饱和函数 sat(·)，其表达式如下:
s
u D (t) = −K ×sat( ) （7）

ε
x(t) 
m 负载板 y,|y| ⩽ 1


sat(y) =  （8）
 sign(y),|y| > 1

式中，K 为决定到达滑模面速度的调优参数； ε为用
c k k 3 F e 作动器
于减少抖振问题的调优参数，为了提高精度应选择
y(t)
底板 尽可能小的值。但是当有时间延迟或者建模误差

图 3 E-QZS 隔振器理论模型图 时，ε 太小会引起抖振。
Fig. 3 Theoretical model of the E-QZS vibration isolator 将式 (2)、(4) 代入式 (1)，并对 t 求导得到下式：