Page 117 - 《振动工程学报》2025年第9期

第 9 期 马原卉，等：电磁准零刚度隔振器的负载自适应滑模控制研究 2047

... R R R 式中，收敛常数 µ > 0，鲁棒项常数 η >D。则：
m x +(c+ m)¨x+(k + c)˙x+ kx+
L L L 1
˙
R ˙ V = s[− ˆma˙x−µs−ηsign(s)+∆+ma˙x]+ ˜ m ˆm =
2
3
k 3 (x−y) +3k 3 (x−y) (˙x− ˙y) = σ
L 1
˙
R R C e s[− ˜ma˙x−µs−ηsign(s)+∆]+ ˜ m ˆm =
c¨y+(k + c)˙y+ ky+ gu （9） σ
L L L 1
˙
2
−µs −η|s|+∆s+ ˜m( m− sa˙x) （17）
ˆ
取滑模面： s(x) = a 1 x+a 2 ˙x+ ¨x，其中，a 1 和 a 2 表示 σ
多项式系数。 取自适应率为：
在滑模控制中，需满足赫尔维兹稳定性判据,即 ˙ ˆ m = σsa˙x （18）
多项式 p +a 2 p+a 1 = 0 p+a 1 = 0的特征值实数部分为 则：
，
2
2
2
2
负，其中，p 代表变量。取 p +2λp+λ = 0，则 (p+λ) = 0， ˙ V = −µs −η|s|+∆s ⩽ −µs ⩽ 0 （19）
2
2
，
取特征值 λ > 0可满足多项式 p +a 2 p+a 1 = 0 p+a 1 = 0 当且仅当 s=0 时， ˙ V = 0，即当 ˙ V ≡ 0时，s=0。根据
2
的特征值实数部分为负，对应得到 a 2 = 2λ,a 1 = λ 。 LaSalle 不 变 性 原 理 ， 闭 环 系 统 为 渐 进 稳 定 ， 即 当
2
1
定义李雅普诺夫方程为 V = s ，李雅普诺夫稳 t → ∞时， s → 0。系统的收敛速度取决于 η。
2
2
定性条件必须满足不等式 ˙ V = s˙s ⩽ 0，其中： 由于 V ⩾ 0, ˙ V ⩽ 0，则当 t → ∞时，V 有界；因此可
...
˙ s =a 1 ˙x+a 2 ¨x+ x = a 1 ˙x+a 2 ¨x+ 以证明 ˆ m有界，但无法保证 ˆ m收敛于 m。原因如下：
[ 根据 LaSalle 不 变 性 原 理 只 能 证 明 t → ∞时 ，
1 R R
c¨y+(k + c)˙y+ k 1 y+
m L L s → 0，无法得到 ˜ m → 0。还可以从另一个角度进行
R R ˙ V = −µs −η|s|+∆s，当 ˙ V = 0，此时
2
C e 分析，由于 s=0 时，
gu−(c+ m)¨x+(k + c)˙x+
L L L
] V 不再减小，因此无法保证 ˜ m → 0。
R R
3
2
k + k 3 (x−y) +3k 3 (x−y) (˙x− ˙y) （10） 为了防止 ˆ m过大而造成控制输入信号 u 过大或
L L
ˆ m ⩽ 0的情况，需要通过自适应律的设计使 ˆ m的变化
为了使 ˙ V ⩽ 0，取控制律 u：
，
在 [ m min m max ] 范围内，可采用一种映射自适应算法，
[
L·m R R
u = − Ksign(s)−c¨y−(k + c)˙y− ky+ 对式（16）进行如下修正：
L L
g·C e
˙ （20）
R R ˆ m = Proj ˆm (σsa˙x)
(c+ m+ma 2 )¨ x−(k + c+ma 1 )˙ x− 
L L  0； ˆm ⩾ m max ，· > 0

] 

R R Proj ˆm (·) =  0； ˆm ⩽ m min ，· < 0 （21）
2
3
kx− k 3 (x−y) −3k 3 (x−y) (˙x− ˙y) （11）  ·；其他


L L
则： 即当 ˆ m超过最大值时，如果有继续增大的趋势，
即 ˙ ˆ m > 0，则取 ˆ m值不变，即 ˙ ˆ m = 0；当 ˆ m超过最小值时，
˙ V = s˙s = s[−Ksign(s)] = −K |s| ⩽ 0 （12）
˙
如果有继续减小的趋势，即 ˆ m < 0，则取 ˆ m值不变，即
最后，为了保证控制器的稳定性，需要保证 K > 0。

˙ ˆ m = 0。
2.2 自适应控制律设计和稳定性分析 需要说明的是，采用该映射自适应算法，可保证
1
˙
ˆ
将 E-QZS 隔振器的其他不确定部分和干扰记作 ˜ m( m− sa˙x) ⩽ 0，从而保证 ˙ V ⩽ 0。
σ
∆，则式（1）可写作 m¨x = ∆+u，假设不确定参数 m 的
上下界定义为 0 < m 1 < m < m 2 ，不确定项有界表示为 3 仿 真
|∆| ⩽ W，W 为一大于零的常数。
定义滑模面： s = ˙e+ae = ˙x+ax，则： 在 Simulink/MATLAB 中对 E-QZS 隔振系统和控
m˙s = m(¨x+a˙x) （13） 制器进行了仿真。E-QZS 隔振器参数如表 1 所示。
取 ˆ m为 m的估计值，定义李雅普诺夫函数为： 该结果基于隔振系统的位移输出响应测量得到。输
1 1 入 扫 频 正 弦 激 励 作 为 输 入 扰 动， 幅 值 为 1 mm。
2
V = ms + ˜ m 2 （14）
2 2σ
为了满足控制器设计所规定的条件，a、K 必须满足
式中， ˜ m = ˆm−m，系数 σ > 0。
a>0，K>0；a 的大小决定了滑模面的形状，a 越大，滑
1 1
˙
2
˙ V = ms˙s+ ˜ m = s(m¨x+ma˙x)+ ˜ m ˆm = 模面在相平面上越陡峭，即到达目标值的速度越快；
σ σ
1 K 为决定到达滑模面速度的调优参数，但如果控制
˙
s(u+∆+ma˙x)+ ˜ m ˆm （15）
σ 器过于激进，就会产生抖振。抖振是围绕所需平衡
控制律设计为：
点的高频振荡，在实际中是不可取的，通过选择较小
u = − ˆma˙x−µs−ηsign(s) （16） 的增益 K，当系统轨迹接近开关表面时，减小运动动