Page 25 - 《武汉大学学报（信息科学版）》2025年第10期

1960 武 汉 大 学 学 报 （信 息 科 学 版） 2025 年 10 月

观测数据具有相关性时，例如时间序列，若继续 先，采用顾及设计矩阵误差的解法对 AR 模型参
̂
̂
应用原始自助法，可能会导致统计推断失效。 数进行初步估计，得到 AR 系数估值（β 1，β 2， ⋯，
2.2 Sieve 块自助法 β p ），通过 AR 过程得到残差序列：
̂
考虑到时间序列 AR（p）模型中的数据之间 p
̂
i
存在时间维度上的相依性结构，原始自助法不适 v ̂ = y i - ∑ β j y i - j,p + 1 ≤ i ≤ m （5）
j = 1
用，本文引入块自助法。
式 中 ， v ̂ 为 y i 的 残 差 值 ； j 表 示 序 号 ，其 中
i
块自助法的基本思想可以概述为：首先将从
1 ≤ j ≤ p。
总 体 中 抽 取 得 到 的 时 间 序 列 样 本 集
在获取残差序列 { v ̂ } 后，对残差进行中心化
i
( y 1，y 2，⋯，y m )视为总体，总体的分布函数表示为
处理，得到中心化残差：
F ( X，β )，其中 X 为重采样过程中的随机项， β 为 m
v ˉ =( m - p ) -1 ∑ v ̂ i （6）
未知统计量；其次，对随机项向量进行分块处理， j = p + 1
通过分块处理使得每个数据块之间近乎独立，而 { γ i = v ̂ - v ˉ| p + 1 ≤ i ≤ m } （7）
i
单个数据块能够捕捉到原始时间序列中的相依 式 中 ， v ˉ 为 残 差 序 列 平 均 值 ； { γ i } 为 中 心 化 残 差
性结构；然后，将这些数据块视为重采样单元，并 序列。
实施有放回随机抽样，构建用于解算 AR 系数的 然 后 ，采 用 块 自 助 法 对 该 序 列 进 行 分 块 处
伪原始序列，称之为块自助样本；将生成块自助 理，并且对得到的中心化残差序列子集进行有放
*
样本到解算未知系数的整个过程重复 M 次，得到 回随机抽样，获取中心化残差自助样本 { γ i } （p +
M 组系数估值 ( β 1，β 2，⋯，β M )；最后根据 M 组估 1 ≤ i）。最后，通过 AR 过程得到块自助样本：
̂ *
̂ *
̂ *
p
̂
计值的频率分布构建未知统计量抽样分布的自 y i = ∑ β j y i - j + γ i,p + 1 ≤ i （8）
*
*
*
j = 1
助估计，并通过抽样分布经验估计输出未知量的
式中， { y i } ( p + 1 ≤ i ) 为用于解算 AR 系数的块
*
统计信息。
自 助 样 本 。 对 于 i ≤ p，采 用 序 列 的 均 值 进 行 替
在构建块自助样本的过程中，数据块之间的
代，即 { y i = y ˉ m }，i ≤ p，其中 y ˉ m 为 { y t }的均值。
*
首尾相连将导致每个数据块的边界处无法保留
Sieve 块自助采样方法将重采样过程中的 X
原 始 时 间 序 列 的 相 关 性 结 构 ，进 而 产 生 边 界 效
由原始时间序列观测数据转换为中心化残差序
应 ［32］ ，有损统计推断结果的精度。对于 MBB 法，
列，能够保证每个观测值出现在数据块中的权重
由 于 该 方 法 将 原 始 时 间 序 列 数 据 { y t } 划 分 为
相 等 ，并 且 不 会 造 成 数 据 未 使 用 到 的 问 题 。 此
m - l + 1 个数据块 N 1~N m - l + 1 （其中 l 为数据块 外，该方法在构建块自助样本过程中并不会产生
的长度），因此，对于观测数据 y j （l ≤ j ≤ m - l）， 边界效应问题，能够较好地保留原始时间序列中
其出现在 N 1~N m - l + 1 中刚好是 l 次；但对于观测 的自相关依赖结构，因此理论上更具有严密性。
数 据 y j 和 y m - j - 1（1 ≤ j ≤ l - 1），其 在 N 1~ 通过循环反复构建 M 个块自助样本后，得到
N m - l + 1 中仅出现 j 次。当 l ≠ j 时，使得 { y t } 中的 M 个块自助样本并分别解算，获取 M 组 AR 系数
等精度观测数据在 m - l + 1 个数据块中出现的 估 值 ( β 1，β 2，⋯，β M )，根 据 估 计 值 的 概 率 分 布 构
̂ *
̂ *
̂ *
次数却不一致，进而导致 { y t } 中的观测数据被采 建未知统计量抽样分布的自助估计，并输出未知
样到块自助样本的概率不等，因此存在理论上的 量的统计信息。均值作为抽样分布中最重要的
不完备性。此外，对于 NBB 法，该方法将 { y t } 分
参数之一，通常情况下需要将其用于计算未知统
û
ë û
ë
为 m/l 个 数 据 子 集（ ( ) 表 示 小 于 ( ) 的 最 大 整 计量的精度信息，均值计算公式为 ［20，26，35］ ：
数），当 m 不是块长度 l 的倍数时，靠近时间序列 M
*
E ( β )= ∑ β i /M （9）
数据尾部的观测数据 y j （m - r + 1 ≤ j ≤ m）将不
i = 1
会被划分到数据子集中，即导致该 r 个观测数据 式中， E ( β )为 AR 系数的自助估计值。
的出现概率为 0。因此，为解决以上两个问题，本 由于顾及设计矩阵误差的解法得到的 AR 系
文引入 Sieve 自助法思想。 数估值不再具有无偏性，而通过大量的有放回随
Sieve 自助法的基本思想是将研究时间序列 机采样过程能够在一定程度上减弱迭代计算产
{ y t } 的分布问题转化为研究 AR 系数的分布。首 生的偏差，因此本文将式（9）的结果作为块自助