Page 24 - 《武汉大学学报（信息科学版）》2025年第10期

第 50 卷第 10 期 王乐洋等：顾及设计矩阵误差时间序列 AR 模型精度评定的 Sieve 块自助采样方法 1959

解决大地测量领域中的时间序列模型精度评定 模型将设计矩阵中不同的随机元素进行了提取
问题还有待研究。 并作为待估量进行求解。根据随机误差平方和
本文在顾及设计矩阵误差的基础上，为有效 最小准则并依据文献［34］的推导思想，可得 AR
避免精度评定过程中的求导计算并且较好地保 系数的迭代计算式为：
̂
留原始序列的相关性，将 Sieve 自助法的思想引 β =[ A ( KQ e K ) A ] -1 ̂ T T -1
A ( KQ e K ) Y （3）
T -1
̂ T
入到块自助法中，并定义了 4 种精度评定方法。 式中，β 为 AR 系数估值向量；A 为设计矩阵估值；
̂
̂
将本文 4 种方法用于模拟实验和北斗精密钟差真
K 表示中间变量的替换矩阵； Q e 为协因数矩阵。
实实验，验证本文精度评定流程的正确性以及方
进一步可求解出 AR 系数的方差-协方差矩
法的可靠性和优势。
阵 D ̂，计算公式为 ［34］ ：
β
2 （4）
1 AR 模型与顾及设计矩阵误差的 D ̂ = σ ̂ Q ̂ β
β
0
2
式 中 ， σ ̂ 为 单 位 权 方 差 ，自 由 度 为 n - p； Q ̂ =
β
0
解法 T -1 ̂
̂ T
-1
[ A ( KQ e K ) A ] 为 AR 系数的协因数矩阵。
时间相关性描述了一个时间序列内部的相
2 AR 模型精度评定的 Sieve 块自助
关关系。观测数据 y t 与 y t - 1 是不同时刻的随机变
采样方法
量，同属于时间序列 { y t }，彼此相互关联。假设时
间序列数据 { y t }符合 AR（P）模型，那么任意时刻
顾及设计矩阵误差时间序列 AR 模型实际上
的观测值均为自身最近 P 阶滞后项的线性组合，
是一种非线性模型，而对于非线性平差模型，其
该 平 稳 的 时 间 序 列 能 够 使 用 函 数 y t =
参数估计与精度评定过程可以看作是通过从总
f ( y 1，y 2，⋯，ε t )表示为： 体中抽取的固定原始样本，对模型中的未知统计
ì y t = β 1 y t - 1 + β 2 y t - 2 + ⋯ + β p y t - p + ε t 量及其精度进行统计推断。
í （1）
2
î ε t ~i.i.d N ( 0,σ ) 自助法是将原始样本视为总体，依据有放回
式中， β 1，β 2，⋯，β p 为 AR 模型的系数， p 为阶数； t 随机抽样准则从总体分布函数中得到一系列独
表示时刻； ε t 为观测误差； i.i.d 表示独立同分布； 立的自助样本，并通过计算每个自助样本来获取
N ( 0，σ )表示均值为 0、方差为 σ 的正态分布。 未知统计量抽样分布的经验估计 ［20，35］ ，利用该抽
2
2
对于 p 阶 AR 模型，经典的解法为 LS 法，但 样分布估计进行总体推断。自助法的优势主要
LS 法在求解 AR 系数时忽略了设计矩阵中的元 集中在它不需要对未知模型及数据分布做任何
素含有随机误差，导致其理论缺乏严密性，且观 假设，也无需推导未知估计量的精确表达式，只
测向量误差与设计矩阵误差同源，若采用奇异值 需要通过重采样来检验样本内统计量的变化便
分解算法获取 AR 系数，则会导致同一观测数据 能够得到未知参数的抽样分布估计。
的改正值不唯一。因此，本文采用一种能够顾及 2.1 基于独立同分布的自助法
设计矩阵误差且保证同一观测值的改正数为唯 原始自助法需要满足数据为独立且同分布
一的参数估计算法。 的特殊假设条件，其基本思想可以概述为：假设
首 先 ，将 式（1）改 写 为 矩 阵 形 式 ，计 算 公 从总体中抽取的固定样本集为 ( x 1，x 2，⋯，x m )，总
式为： 体的分布函数表示为 F ( X，β )，其中 X 为随机项，
Y + E Y =( A + E A ) β （2） β 是未知参数；以 X 中的单个元素作为重采样单
式中， Y ∈ R n × 1 为观测向量，由时间序列 { y t }中的 元，并对其进行有放回随机抽样，获取 M 个样本
元素组成， n = m - p 表示 AR 过程中的方程式个 容量仍为 m 的自助样本。该过程使得自助样本
数， m 表示时间序列的原始样本容量； E Y ∈ R n × 1 的经验分布函数能够不断逼近原始样本统计量
为 观 测 向 量 误 差 ； β ∈ R p × 1 为 AR 系 数 组 成 的 向 的分布 ［20］ ，以便于输出未知统计量的期望 E ( β )
量； A ∈ R n × p 表示设计矩阵； E A ∈ R n × p 为设计矩 与方差 D ( β )。
阵误差。 根据自助法重采样过程中随机项的不同，原
由于含有随机误差的元素规律地分布在设 始自助法又可分为重采样观测值的自助法和重
计 矩 阵 不 同 位 置 并 且 重 复 出 现 ，为 提 升 计 算 效 采样残差值的自助法 ［35］ 。但以上两种采样策略
率，本文采用文献［33］提出的变量误差模型，该 只适用于限定观测数据为不相关的特殊情况，当