Page 26 - 《武汉大学学报（信息科学版）》2025年第10期

第 50 卷第 10 期 王乐洋等：顾及设计矩阵误差时间序列 AR 模型精度评定的 Sieve 块自助采样方法
法得到的 AR 系数最终估计。
在获取 AR 系数均值后，将重采样过程中获
̂ *
̂ *
̂ *
取的 ( β 1，β 2，⋯，β M ) 作为估值样本，采用矩法估
计 的 思 想 原 理 获 取 AR 系 数 的 方 差 - 协 方
差阵 ［22，26，35］ ：
M
2
̂ *
D ( β )= ∑ [( β i - E ( β ) ) ] /( M - 1 ) （10） 且将迭代寻优算法获取到的最优块长度作为参
i = 1
σ ̂ ̂ = D ( β ) i,i
β i
式中， D ( β )为 AR 系数的自助方差-协方差矩阵；
σ ̂ ̂ 为 AR 系数的标准差。
β i
从式（10）及式（11）可以看出，Sieve 块自助采
样方法可以用于求取顾及设计矩阵误差时间序
列 AR 模型系数的方差或协方差。因此，本文将
该采样方法引入到 AR 模型的精度评定中，并根
据分块准则和采样策略的不同，定义了 4 种精度
评定方法。
2.3 精度评定流程
精度评定的 Sieve-MBB 采样方法依据最优
块长度将中心化残差序列划分为多个子块，并通
过对子块的有放回随机抽样得到中心化残差自
助样本，并以此构建块自助样本。每个残差子块
被采样到的概率相等，每个块自助样本的样本容
量与原始时间序列样本相同。但有放回随机抽
样过程使得中心化残差自助样本可能包含某些
重复的子块，而另外一些数据子块并未出现。因
此，每个块自助样本将随机地异于原始序列，导
致每个块自助样本得到的 AR 系数估值存在细微
差异。
与 MBB 采 样 方 法 类 似 ，精 度 评 定 的 Sieve-
NBB 采样方法根据迭代法选择的最优块长度将
中心化残差序列划分为多个子集，通过对子集的
有放回随机抽样得到中心化残差自助样本并构
建块自助样本，根据抽样分布得到未知量的精度
信息。但在对中心化残差序列进行分块处理时，
由于依赖于受采样准则，NBB 法得到的中心化残
差子集之间不存在重叠。
与 MBB 法、NBB 法一致，精度评定的 Sieve-
CBB 采样方法划分得到的每个中心化残差子集
的长度相同。但 CBB 法通过将原始时间序列或
中 心 化 残 差 序 列 进 行 周 期 性 延 伸
{ y m }= { y m，y m }、 { γ }= { γ，γ }，因此能够得到与样
本容量 m 相同个数的中心化残差子集。相比于
其他 3 种采样方法，CBB 法得到的可供重采样的
1961
子块最多。
与 MBB 法、NBB 法、CBB 法相比，精度评定
的 Sieve-SBB 采样方法最大的差异在于，SBB 法
得到的每个中心化残差子集的块长度可能并不
相同，其所满足的概率密度函数为几何分布，并
数确定该几何分布。因此，在每循环一次 SBB 采
( i = 1,2,⋯,p ) （11）
样的过程中，被抽样到的中心化残差子集个数由
于受采样随机性的影响，可能并不相等。
各方法之间的差异主要集中在分块规则与
采样规则，即数据块长度是否固定、所划分的数
据块个数、数据块之间是否存在重叠、需要重采
样的子集个数，以及重采样过程中所满足的分布
等。具体而言，MBB 法和 NBB 法的计算步骤基
本相同，仅在分块规则这一部分有差异。MBB 法
的计算步骤中的分块规则为：对中心化残差 { γ }
进行分块预处理，获取 N = m - p - l + 1 个残差
序列子集 { γ( i，k ) }。而 NBB 法的计算步骤中的
分块规则为 ：对 { γ } 进行分块预处理 ，分为 N =
û
ë ( m - p )/l 个子集 { γ( i，k ) }，其中 i=1，2，⋯，N，
k = l。而 CBB 法不仅在分块规则这一计算步骤
与 MBB 法和 NBB 法有差别之外，还比这两种方
法 的 计 算 步 骤 多 一 步 ，即 先 将 序 列 周 期 性 延 伸
{ y m }= { y m，y m }，为 方 便 编 程 采 样 与 计 算 ，对
{ γ }= { γ，γ }进行编号处理，然后再对 { γ，γ }进行
分块预处理，分为 N = m - p 个中心化残差序列
子集 { γ( i，k ) } （i = 1，2，⋯，N， k = l）。SBB 法的
计算步骤与其他 3 种方法在分块规则与采样规则
当中均不相同，具体描述为：采用周期性延伸序
列 { γ }= { γ，γ }，并对其进行编码预处理；产生随
机数 I 4i （1 ≤ i），概率密度函数所附有条件为均匀
分布 P ( I 4i = J )= 1/( m - p ) （1 ≤ J ≤ m - p）；产
生概率密度函数为独立同几何分布的随机数 L i
（1 ≤ i）， L i 满足参数为 p = 1/l ( p ∈ ( 0，1 ) )的几何
分 布 p( L i = k )= p(1 - p ) k - 1 ， k = 1，2，3，⋯；对
{ γ }= { γ，γ } 进 行 有 放 回 随 机 抽 样 ，获 取 子 集
γ( I 4i，L i )；分 别 循 环 这 一 部 分 的 步 骤 γ( I 41，L 1 )，
γ( I 42，L 2 )，⋯，γ( I 4k，L k ) 次 ，获 取 子 集 γ( I 41，L 1 )，
γ( I 42，L 2 )，⋯，γ( I 4k，L k )，直 到 满 足 条 件 L 1 +
L 2 + ⋯ + L k ≥ m - p 则终止本次重采样。而对
于 块 长 度 l 的 选 取 ，本 文 采 用 文 献［36］提 出 的
方法。