Page 23 - 《武汉大学学报（信息科学版）》2025年第10期

1958 武 汉 大 学 学 报 （信 息 科 学 版） 2025 年 10 月

Sieve-nonoverlapping block Bootstrap method, Sieve-circular block Bootstrap method and Sieve-stationary
block Bootstrap method are compared with the RMS of total least squares method, decreased by 70.25%,
78.65%, 70.89% and 79.24%, respectively. Conclusions: The experimental results show that the Sieve-
block Bootstrap sampling method can obtain more reliable autoregressive coefficient standard deviations
than the least square method and the classical AR model iterative method, and it has stronger applicability.
Key words： time series； AR model； precision estimation； block Bootstrap method； Sieve Bootstrap method

自 回 归（auto-regressive，AR）模 型 是 一 种 基 下获取合理的 AR 系数精度信息，是本文研究的
本的时间序列分析模型，作为一种动态的数据处 主要问题之一。
理方法，AR 模型在沉降监测、极移预报、导航定 为有效解决非线性模型精度评定中导数运
位 等 大 地 测 量 领 域 有 着 广 泛 的 研 究 和 应 用 ［1-8］ 。 算困难的问题，通过重采样来代替求导计算的近
若仅考虑观测向量的随机误差，为保证参数估值 似非线性函数概率密度分布的精度评定方法近
的最优性，通常是构建高斯-马尔柯夫模型、采用 些年流行起来，包括蒙特卡罗法 ［14-16］ 、刀切法 ［17］ 、
经典最小二乘（least squares，LS）法获取 AR 系数 斯特林插值方法 ［18］ 、无迹变换方法 ［19］ 等。以上精
的最或然值。通过 AR 过程可以发现，设计矩阵 度评定方法在非线性模型精度评定中通常能够
是观测向量元素按一定规律排列获得的，因此设 得到有效的统计推断结果，但需要满足观测数据
计矩阵误差与观测向量误差同源。若仍然利用 为独立观测这一特殊假设条件。在顾及设计矩
LS 法进行参数估计，得到的估值在统计意义上便 阵误差的 AR 模型中，任意时刻的观测值均为自
是有偏估计，此时经典的 LS 法存在局限性，无法 身最近 P 阶滞后项的线性组合，使得观测向量元
保证 AR 系数估值的最优性。为保证增广矩阵中 素之间不存在相关性的特殊假设无法得到保证。
相同元素具有相同的改正数，文献［9］在总体 LS 因此，在保留时间序列观测数据之间相关性的情
（total LS，TLS）的基础上推导了一种新的 AR 模 形下，对 AR 模型中的未知参数开展精度评定也
型参数估计算法。为同时顾及 AR 模型中观测向 是本文主要研究的问题。
量误差和设计矩阵误差，文献［10］通过引入虚拟 自助采样方法 ［20-22］ 是与刀切法紧密相关的一
观测值提出了一种顾及设计矩阵误差的 AR 模型 种统计推断方法，均用于修正统计估计值的偏差
解法。考虑到当测量数据中存在粗差扰动时，少 或估计方差信息。文献［20］首次提出了通过重
量 的 粗 差 就 可 能 对 AR 系 数 估 值 产 生 毁 灭 性 影 复采样得到自助世界的经验分布来逼近总体真
响，文献［6］研究了一种 AR 模型稳健 TLS 方法。 实分布，并给出了其基本采样策略和相关理论证
目前，有关顾及设计矩阵误差 AR 模型的研究主 明。由于自助法无须任何参数假设，只需通过有
要集中在参数估计方面，对 AR 系数的精度评定 放回随机抽样策略获取自助样本并构建抽样分
问题鲜有研究。 布的方式，便可获得未知量的均值和方差，因此
顾及设计矩阵误差的迭代解法的计算过程， 历年来有较多学者将该方法用于偏差分析和方
AR 系数估值与原始观测值之间为复杂的非线性 差计算 ［23-26］ 。针对不同的研究问题和应用领域，
关系，且为嵌套的隐函数形式。因此，顾及设计 自助法重采样包含众多演变方法，包括数据独立
矩阵误差的 AR 模型本质上是一种非线性模型， 同 分 布 的 自 助 法 、块 自 助 法 ［27-30］ 、Sieve 自 助
而对于非线性平差模型的精度评定问题，常采用 法 ［31-32］ 等。基于独立同分布的自助法需要满足观
近似函数法得到未知参数的精度信息。该方法 测数据为独立的特殊限定。块自助法根据不同
借助泰勒级数公式对非线性模型进行展开，并依 的 分 块 准 则 和 采 样 策 略 ，可 以 分 为 移 动 块 自 助
据 误 差 传 播 定 律 获 取 未 知 参 数 的 方 差 -协 方 差 （moving block Bootstrap，MBB）法 ［27］ 、非 重 叠 块
阵 ［11-13］ 。因此，近似函数法具有固定的方差阵解 自 助 （nonoverlapping block Bootstrap，NBB）
析表达式，但无法避免求导计算。当遇到顾及设 法 ［28］ 、圆形块自助（circular block Bootstrap，CBB）
计矩阵误差 AR 模型的精度评定问题时，系数估 法 ［29］ 以及静止块自助（stationary block Bootstrap，
值与观测值之间的复杂且嵌套的非线性关系使 SBB）法 ［30］ 。Sieve 自助法将残差样本作为重采样
得二阶偏导数计算困难。若采用泰勒公式展开 过程中的随机项，将研究数据的分布转化为研究
并且仅截取至一次项，可能会导致所得精度信息 未知统计量的分布。目前，块自助重采样的研究
并不准确。因此，如何在有效避免导数计算情况 主要集中于该方法在统计学上的性质，将其用于