Page 115 - 《爆炸与冲击》2026年第8期

第 46 卷 吴宗铎，等： 基于等熵曲线与Hugoniot曲线下的一种防奇点Mie-Grüneisen多介质混合模型 第 8 期

由于奇点往往出现在比容较小时，因此质量分数模型能通过扩大比容参数 V 来避免奇点的产生。
i
而系统计算式 (3) 中的偏导数 φ、ϕ、ψ，则按照质量分数 Y 来展开：
ã Å ã
Å
Γ ′ Γ ′

 1 2
ϕ = Y 1 − +Y 2 − +···
 2 2
 Γ Γ
 1 ρY 1 2 ρY 2

Å ã Å ã
Γ 1 p ′ − p ref1 Γ ′ Γ 2 p ′ − p ref2 Γ ′ (21)
ref1 1 ref2 2
φ = Y 1 2 +Y 2 2 +···
 Γ Γ
 1 2
 ρY 1 ρY 2
 ( ) ( )

ψ = Y 1 ρ 1 e ′ +e ref1 +Y 2 ρ 2 e ′ +e ref2 +···
ref1 ρY 1 ref2 ρY 2
2.2 声速计算及优化
关于声速计算，采用式 (6) 的计算方式。对于多介质模型，进行如下考虑：

ã m ã m
m Å m Å
∑ ∂p ∑ ∂p ∑ ∂p ∑

dp = d(ρY i )+ d(ρe) = (Y i dρ+ρdY i )+ Γ d(ρe)
∂ρ ∂(ρe) ∂ρ
i=1 ρY i i=1 ρY i i=1 ρY i i=1 ρY i
等式两边同时除以 dρ 和 d (ρe)，可以分别得到：

ã m
m Å
dp ∑ ∂p dp ∑
= Y i dρ, = Γ (22)
dρ ∂ρ d(ρe)
i=1 ρY i i=1 ρY i
将式 (22) 代入到式 (6) 中，可以通过加权得到总声速：
∂p p ∂p
2
2
2
c = + = Y 1 c +Y 2 c +··· (23)
∂ρ ρ ∂(ρe) 1 2
需要注意的是，在界面附近各介质以不同的 Y 混合时，对于参考状态参数 p ′ ref 和 e ′ ref ，不应当简单
地 对 密 度 ρ 进 行 求 导 。 否 则 ， 当 两 介 质 的 密 度 跳 跃 很 大 时 ， 依 旧 容 易 出 现 误 差 并 影 响 声 速 ， 严 重 情
况下会使得声速为负值。为此，在进行如式 p ′ e ′ 进行如下
ref 和 ref
(23) 的加权时，对单介质中的参考状态
修正：
′
p = Y 1 p ′ (ρ 1 )+Y 2 p ′ (ρ 2 )+···
ref ref1 ref2
′
e = Y 1 e ′ (ρ 1 )+Y 2 e ′ (ρ 2 )+··· (24)
ref ref1 ref2
以 p 为例，证明如下：
f
re
m m
∑ ∑
dp ref = p ′ d(ρY i ) = p ′ (Y i dρ+ρdY i )
refi ρY i refi ρY i
i=1 i=1
对于不同的介质，p 的表达式不同，这里用 p ref i 进行区分。这样，可以得到：
f
re
m m
∑ ∑
dp ref
= Y i p ′ = Y i p ′
dρ refi ρY i refi ρ i
i=1 i=1
展开后即式 (24)。同理可证 e 。修正后的式 (24) 的物理意义为：为界面处设置一个相对稳定的平滑过
ref
渡的参考状态（p , e ），避免因密度间断和状态方程形式的突变影响计算。
ref
ref
2.3 声速收敛条件
数值计算中的时间步长 Δt，需要由左侧波面与右侧波面的最大运动速度来定义。在定义空间步长
时，一般要求波面在 Δt 时间内的运动距离不得超过步长 Δx。根据这一收敛性要求，对 Δt 的定义 [10] 为：
min(∆x)
∆t = C CFL (25)
max(|u i |+c i )
式中：u 和 i c 分别为第 i 个网格点的质点速度和声速。C CF L 是介于 0～1 之间的系数，满足收敛的条件
i
为：C CFL ＜1；分母中的参数ǀu ǀ+c 用来表示左侧和右侧激波（数值分别为 u −c 和 i u +c ）中的最大值。
i
i
i
i
i
由式 (25) 可知，在整个计算域内如果某处出现奇点，有可能会拉高ǀu ǀ+c 的最大值，并最终影响整个
i
i
时间步长，进而影响整个计算域的计算效率。
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