Page 112 - 《爆炸与冲击》2026年第8期

第 46 卷 吴宗铎，等： 基于等熵曲线与Hugoniot曲线下的一种防奇点Mie-Grüneisen多介质混合模型 第 8 期

出现奇点的情况。为了避免出现零碎的流体体积，采用质量分数模型来替换体积分数模型，由于质量分
数模型中各流体介质体积都被看作流体整体的体积，因此不会出现零碎的流体体积。利用基于质量分
数的 Mie-Grüneisen 混合模型，处理典型状态方程下的界面问题，并通过界面附近的声速优化对收敛性条
件进行改善。同时，对于计算中出现的流体介质声速小于零的不合理情况，进行数值处理。

1 基本方程

1.1 计算模型
对于多介质的可压缩流场，其运动满足守恒形式的欧拉方程：
∂ρ ∂

 + (ρu) = 0

 ∂t ∂x



∂(ρu) ∂ ( )
2
+ ρu + p = 0 (1)
 ∂t ∂x


∂(ρE) ∂

+ (ρEu+ pu) = 0

∂t ∂x
式中：ρ、p、u 和 E 分别为密度、压力、速度和体积能量。体积总能量为内能 e 和动能 u /2 2 的总和。式 (1)
需要结合状态方程，才能完成求解。对状态方程，选用通用性强的 Mie-Grüneisen 方程的形式：
p− p ref (V) = ρΓ(V)(e−e ref (V)) (2)
式中：V 为比容， V=1/ρ；Γ 为 Grüneisen 系数； p 和 f e 为参考状态的压力和单位体积内能。将式 (1)～(2)
f
re
re
联立，即可完成流场的求解。当 p 和 f e 的表达式较为复杂的时候，直接联立式 (1)～(2) 计算较为复杂，
f
re
re
此时若对 Γ、p 和 f e 构建自变量，并用体积分数 Z 来捕捉界面，则能为计算带来便利，这样整个求解方
i
f
re
re
程组为：
∂ρ ∂

 + (ρu) = 0

 ∂t ∂x



∂(ρu) ∂ ( )

 2
 + ρu + p = 0

 ∂t ∂x



 ∂(ρE) ∂

 + (ρEu+ pu) = 0

 ∂t ∂x


∂ 1 ∂ 1 ∂u
 Å ã Å ã
+u +ρϕ = 0 (3)
 ∂t Γ ∂x Γ ∂x

 ( ) ( )
 ∂ ∂ ∂u

 p ref p ref
 +u +ρφ = 0

∂t Γ ∂x Γ ∂x


 ∂ ∂ ∂u


 (ρe ref )+u (ρe ref )+ρψ = 0

∂t ∂x ∂x




∂Z i ∂Z i
 +u = 0 i = 1, 2, 3, ··· , m−1
∂t ∂x
式 (3) 为 Mie-Grüneisen 多介质混合模型，在该计算模型中，φ、ϕ 和 ψ 分别为非守恒变量 1/Γ、p /Γ 和
ref
ρe 关于密度 ρ 的偏导数，m 为流场中介质的数量，体积分数 Z 用来捕捉界面，很多时候被称为色函数，
f
i
re
可在有颜色的云图上用来区分不同介质的存在区域。而压力 p 则表达成以下形式：
Å ã
1
p ref /Γ + ρe−ρe ref − ρu 2
2
p = (4)
1/Γ
在传统的混合模型中，变量 1/Γ、p /Γ 和 ρe 由体积分数加权而成：
f
ref
re

Γ = Z 1 Γ 1 (ρ)+Z 2 Γ 2 (ρ)+···

p ref = Z 1 p ref1 (ρ)+Z 2 p ref2 (ρ)+··· (5)


e ref = Z 1 e ref1 (ρ)+Z 2 e ref2 (ρ)+···
式中：下标 1, 2, ···代表介质种类。
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