Page 114 - 《爆炸与冲击》2026年第8期

第 46 卷 吴宗铎，等： 基于等熵曲线与Hugoniot曲线下的一种防奇点Mie-Grüneisen多介质混合模型 第 8 期

式中：α 为无量纲体积修正系数。 100 000
在 声 速 表 达 式 （ 式 ( 6 ) ） 中 ， 定 义 C p ′ = p ′ ，

ref s=1.2 s=1.4 s=1.6 Position of
得到： Singularity
V 0 + s(V 0 −V)
C p ′ = p = c 2 0 V 2 (13)
′
ref
[V 0 − s(V 0 −V)] 3
同时定义 C =p /ρ−ρe' ，并且有： 2 C p′ /c 0 , C rcf /c 0 2 0
ref
ref
ref
s(V 0 −V) 2
p ref 2
C ref = −ρe = −c 0 3 V (14)
′
ref
ρ [V 0 − s(V 0 −V)] C p′
对 于 压 缩 状 态 的 介 质 ， 体 积 变 小 ， V＜ V 。 C ref
0
将 C 和 C f 与压 V/V 的关系绘制成图，可以得
0
p' re −100 000
到 如 图 3 所 示 的 相 关 曲 线 。 从 图 3 可 以 发 现 ， 0.1 0.3 0.5
C 与 p' C re f 的曲线都存在奇点，在奇点附近，它们 V/V 0
的数值存在较大波动。考虑它们出现在声速平 图 3 不同 s 值条件下的 C p' 与 C re 变化曲线
f
方项中： Fig. 3 Curves of C p' and C ref for different values of s
Å ã
Γ ′ p− p ref
2
c = ρ +1+Γ +ΓC ref +C p ′ (15)
Γ ρ
2
因此，C 与 C 中任何一个出现奇点都容易引起 c 值出现负数，并导致后续计算难以进行。从图 3 中可
f
p' re
以注意到，由于奇点分布在 0.1～0.5 范围内（具体位置根据 s 而确定），当 V/V 的数值在 0 和 1 之间变化
0
2
时（即压缩状态），非常容易触发奇点而直接影响 c 的计算。
再考虑另一种等熵曲线作参考压力 p 的情况。在等熵条件下，物质的熵 S 与温度 T 满足如下关系：
f
re
de ref = TdS − p ref dV (16)
考虑到等熵曲线中，dS=0。那么有：
1
de ref
′ ′
p = − = e (17)
ref 2 ref
dV ρ
代入声速计算公式 (6)，有：
Å Γ ′ ã
2
c = Γ +1+ρ p− p ref + p ′ (18)
Γ ρ ref
式中：p 作为非线性曲线，在不同的等熵条件下有着多种形式。如爆轰问题中，使用圆筒试验得到了指
f
re
[2]
数形式的曲线 ，并最终拟合成熟知的 JWL 曲线。需要注意的是，压缩度越大，则 V 越小，曲线会变得陡
峭，p 的导数也随之变大。在接近 0 的位置，往往容易出现奇点。
f
re
2 数学模型优化
2.1 质量分数模型
考虑到体积分数模型容易在界面附近产生零碎的 V，并容易产生奇点。这里将体积分数 Z 替换为质
量分数 Y，这样可以在整个计算过程中将流场视为不同密度的流体混合物，从而避免产生零碎的体积。
且流场中介质的密度也可以作为色函数来捕捉界面，这样系统方程组（式 (3)）的最后一个方程可以替
换为：
∂(ρY i ) ∂(ρY i u)
+ = 0 i = 1,2,··· ,m−1 (19)
∂t ∂x
对于流场中第 i 种介质的比容 V ，有：
i
1
V i = ≥V (20)
ρY i

084201-5