Page 158 - 《爆炸与冲击》2025年第12期

第 45 卷 刘振华，等： 基于非常规态近场动力学对混凝土动态拉伸断裂的数值模拟研究 第 12 期

N
∑ {
( ) ( )( )}
ρ¨ u(x i ,t) = T (x i ,t) ξ ij −T x j ,t ξ ij V x j + b(x i ,t) (15)
j=1
式中：N 为物质点 x 近场范围内邻近物质点 x 的总数， V x j 为物质点 x 的体积。式 (5) 中的形状张量 K x i
j
i
j
和式 (7) 中的非局部变形梯度 F x i 的离散形式也可相应得到。
考虑等效计算应变率的 Kong-Fang 模型用于在给定应变增量 Δε 下，求解式 (6) 中的柯西应力 σ。
在 NOSB-PD 中，Δε 可通过非局部变形梯度 F x i 得到，即：

1 ( T ) −1
˙
∆ε = D∆t, D = L+ L , L = F x i F (16)
2 x i
˙
式中：Δt 为时间步长，D 为变形率张量，L 为空间速度梯度， F x i 为非局部变形梯度 F x i 的导数。然后根据
[4]
Kong-Fang 模型的应力更新算法 可得到柯西应力 σ，进而更新式 (4) 中的力矢量状态。
求解物质点 x 在 i t 时刻的速度矢量 ˙ u x i , t 和位移增量矢量 ∆u x i , t 的 Newmark 方法为：
[ ]
˙ u x i , t = ˙ u x i , (t−∆t) + (1−γ) ¨ u x i , (t−∆t) +γ¨ u x i , t ∆t (17)
ïÅ ã ò
1
∆u x i , t = ˙ u x i , (t−∆t) ∆t + −ψ ¨ u x i , (t−∆t) +ψ¨ u x i , t ∆t 2 (18)
2
式中：γ 和 ψ 为 Newmark 常数。式 (15) 和式 (17)～(18) 可采用预测校正方法求解，得到物质点 x 的位
i
移、速度以及加速度 [14] 。其中时间步长 Δt 需要满足 Courant-Friedrichs-Levy (CFL) 条件：

∆t
c ≤C max (19)
∆x
式中：c 为声速，C max ≤1.0。
2 一维杆中的弹性波传播

为验证修正的 Monaghan 人工体积黏性对于消除应力波传播模拟中数值振荡的可靠性，基于考虑人
工体积黏性和等效计算应变率的非常规态近场动力学模型，对一维杆中的弹性波传播进行数值模拟，在
开展收敛性分析（δ 收敛和 m 收敛）基础上，验证提出的人工体积黏性方法的可靠性，进一步讨论人工体
积黏性参数（α 和 β）的影响并给出参数建议值。
2.1 收敛性分析
如图 2 所示，考虑一细长一维杆，杆长为 L=1 m，为避免横向惯性影响，横截面积 A 应取充分小量，
这里取为 1.6×10 m ；弹性材料假定为钢，弹性模量为 210 GPa，密度为 7 800 kg/m ，弹性波速为 5 188 m/s。
3
−5
2
杆左侧施加矩形波，压力幅值为 p=100 MPa，作用时间为 t=42 μs，通过设置 1 层虚拟粒子实现，杆右侧为
自由边界。

A
Fictitious pressure
y boundary layer Δx
p p(t) 1 1−1 Free boundary
100 MPa
x

O 42 μs t 1
L

图 2 一维杆中的弹性波传播数值模型示意图
Fig. 2 Numerical model for wave propagation in one-dimensional rod

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