Page 156 - 《爆炸与冲击》2025年第12期

第 45 卷 刘振华，等： 基于非常规态近场动力学对混凝土动态拉伸断裂的数值模拟研究 第 12 期

Deformation

H x i
t ij
H x i
H x j t ji
u(x i , t) ξ ij +η ij
H x i
ξ ij
δ u(x j , t)

Current configuration
y(x i , t)
Reference configuration x i x j y y(x j , t)

O x
z

图 1 NOSB-PD 理论中物质点的运动
Fig. 1 Kinematics of material points in NOSB-PD theory
( ) ( ) ( ( ))
Y ξ ij = ξ i j +η ij = y x j ,t − y(x i ,t) = x j +u x j ,t −(x i +u(x i ,t)) (2)
在 NOSB-PD 理论中 [13] ，近场范围 H x i 中各物质点的积分型运动方程表达式如下：
w
[ ( ) ( )( )]
ρ¨ u(x i ,t) = T (x i ,t) ξ ij −T x j ,t ξ ij dV x j + b(x i ,t) (3)
H x i
( )
式中：ρ 为当前构型的物质质量密度； ¨ u(x i ,t) 为 t 时刻物质点 x 的加速度； T (x i ,t) ξ ij 为物质点 x 施加在
i
j
(
物质点 x 的力矢量状态，同样有 T x j ,t )( ) ； dV x j 为物质点 x 的体积微元；b(x , t) 为体力密度矢量。
j
i
ξ ji
i
( )
式 (3) 中的力矢量状态 T (x i ,t) ξ ij 定义为：
( ) ( ) −1 ( )
K (4)
T (x i ,t) ξ ij = ω ξ ij P x i ξ ij
x i
2
( ) −| ξ ij| /δ 2
ω ξ ij = e 为高斯影响函数。
式中：
式 K −1 的逆矩阵，即：
(4) 中
x i 为形状张量 K x i
w
( )
= (5)
K x i ω ξ ij ξ ij ⊗ξ ij dV x j
H x i
为与连续介质力学中柯西应力 σ 建立联系的第一类 Piola-Kirchhoff 应力张量，其表达式为：
式中： P x i
( ) −T
σF (6)
P x i = det F x i
x i
F −T 表示为：
式中： F x i 为非局部变形梯度， 为 F x i 转置的逆矩阵。 F x i
x i
K −1 (7)
F x i = N x i
x i
w
( ) ( )
ω ξ ij Y ξ ij ⊗ξ i j dV x j 。
式中： N x i =
H x i
1.2 修正的 Monaghan 人工体积黏性
注意到非局部变形梯度（式 (7)）是通过近似得到，会引起明显的数值振荡，在模拟应力波传播时的
数值振荡时会引起对拉伸断裂破坏模拟的不准确，因此提出修正的 Monaghan 人工体积黏性解决该问题。
Monaghan 人工体积黏性 [33] 广泛应用于 SPH 方法中，主要用于解决强间断冲击波不连续问题的模
拟，其在更新的压力中额外附加黏性项，黏性项定义为：
ß ( )
ρ −αc ij ϕ ij +βϕ 2 x ij ·v ij ＜0
Π ij = ij ij (8)
0 x ij ·v ij ≥0
式中：α 和 β 为常数， c i j 、 ρ i j 分别为材料声速和密度，x = x − x 为相对位置矢量，v = v − v 为相对速度
j
j
ij
i
i
ij
矢量。
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