Page 146 - 《振动工程学报》2026年第5期

1350 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

于计算平台运行内存限制，均匀采样无法以调节分 况，且稳定边界并不一定均分空间体积，导致 USE
辨率为步长在反馈系数空间生成完整的离散网格。 的策略会在边界区域存在一定的误差。对于自适应
k i i = 1,2,3,4）的范围为设
在对比仿真时，反馈系数 （ 采样估计则是存在边界区域网格内采样点数量不
定范围的一半，各反馈系数的调节分辨率设置为其 够，导致边界区域基于 LHS 估计得到的稳定区域体
可调范围的 0.01。基于 MATLAB 进行数值仿真，程 积不够准确。

序调用多线程加速，可调节反馈系数空间为 K，固定
3.2 反馈系数对稳定域的影响
的电磁铁参数和轨道参数取值如表 2 所示，HASE 和
USE 沿 k 1 方向上的稳定点数统计如图 5 所示，仿真结 设置固定参数值如表 2 所示，通过自适应采样
果对比如表 3 所示。 估计方法在可调节反馈系数空间 K中分析系统稳定
域 体 积 随 反 馈 系 数 的 变 化， 各 参 数 灵 敏 度 指 标 为
3.5 ×10 6 分层自适应采样-k 1 −6 −6 −10
T s 1 =2.15×10 ，T s 2 =3.39×10 ，T s 3 =2.14×10 ， T s 4 =
3.0 3.21×10 ，T s 5 = 1.57×10 ，在设定的反馈系数空间
−5
−8
稳定点数 2.5 中的稳定域体积对反馈系数 k 3 、k 4 变化的敏感度与
2.0
1.5
1.0 k 1 、k 2 、k 5 相差 2~4 个数量级。对应的仿真结果如图 6
0.5 所示。
0 由图 6 可得，稳定域体积随着反馈系数 k 1 在负方
−15 −10 −5 0
k 1 ×10 4 向上的增大而增大，且近似为一次线性关系；随着
3.5 ×10 6 均匀网格采样-k 1 k 2 在负方向上的增大而增大，且增长速率逐渐放缓；
随着 k 5 的增大先增大后减少，稳定域体积存在峰值；
3.0 而反馈系数 k 3 、k 4 变化，稳定域体积则基本保持不
稳定点数 2.5 变。因此，由图 6 和对应各参数灵敏度分析可得，稳
2.0
1.5
1.0 定域体积对反馈参数 k 1 、k 2 、k 5 的变化较为敏感，而
0.5
×10 6 ×10 19
0
−15 −10 −5 0 4 2
k 1 ×10 4 稳定点数(左轴)
稳定域体积(右轴)
图 5 分层自适应采样估计与均匀采样估计对比 2
Fig. 5 Comparison of HASE and USE 稳定点数 1 稳定域体积

表 3 仿真结果对比 0 0
−3.0 −2.5 −2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0
Tab. 3 Comparison of simulation results k 1 ×10 5

(a) 稳定域随k 1的变化曲线
参数 自适应采样估计 均匀采样估计
(a) The curve of the stable region varying with k 1
采样点生成时长/s 34.67 0.04 ×10 5 ×10 18
稳定域估计时长/s 690.2 1011.7 6
运行总时长/s 724.87 1011.74 10 4
总采样点数 3.11×10 8 6.25×10 8 稳定点数 5 稳定点数(左轴) 稳定域体积
稳定域体积 8.047×10 18 7.905×10 18 2
稳定域体积(右轴)

0 0
由图 5 可得，USE 的稳定点数随 k 1 分布上存在波 −6000 −5000 −4000 −3000 −2000 −1000 0
k 2
动，而 HASE 的稳定点数变化更为平滑。以均匀采 (b) 稳定域随k 2的变化曲线
样估计的计算结果为基准稳定域体积，则自适应采 (b) The curve of the stable region varying with k 2
样估计在工程误差范围内可实现稳定域的可靠估计。 ×10 6 ×10 18
由表 3 数据对比可得，在采样点生成环节 HASE 2 10
因需要执行细分判断使得所需时间更长，在稳定域 稳定点数 稳定域体积

估计环节，HASE 的总采样点数的降低，使得需判断 1 稳定点数(左轴) 5
稳定域体积(右轴)
稳定性的点数更少，判断时间缩短，在运行总时长
0 0
上，HASE 相比于 USE 缩短了 28.35%。 0 5 10 15
k 3 ×10 4
在稳定域体积估计方面，HASE 与 USE 的差异 (c) 稳定域随k 3的变化曲线
为 1.80%，这是由于稳定边界存在跨越空间网格的情 (c) The curve of the stable region varying with k 3
×1 ×1 19

稳定点数 稳定点数 左轴 1 稳定域体积

稳定域体积 右轴

1000 3000 5000
稳定域随 的变化曲线

×1 5 ×1 18
3

稳定点数 1 稳定域体积

稳定点数 左轴
稳定域体积 右轴
100 300 500
5
稳定域随 5 的变化曲线
5