Page 144 - 《振动工程学报》2026年第5期

1348 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

得到对应的特征多项式和多项式系数为： 法在数学上难以实现。在工程实际中，参数存在可
D=|λI−A cl |=a 5 λ +a 4 λ +a 3 λ +a 2 λ +a 1 λ+a 0 =0 （3） 调节分辨率的限制，通过均匀采样能直接得到空间
2
3
4
5
中所有可达的参数组合，得到合适的稳定域估计，但

 a 5 = 1


 是由于在高维空间中，均匀采样的采样点数量随维


 z o z o
 a 4 = k 5 +

 R+2ω 1 ζ 1
 度增加呈指数级增长，且未考虑数据分布特征，大量
 2k 2k




 [24]
 √ √ 样本落在非稳定区域，造成计算资源浪费 。

 ( )
 g mg z o ω 1 ζ 1 z o ω 1 ζ 1
 2

 a 3 = − k 4 + k 5 + R+ω
 k 2 +C o
 1 针对磁浮列车车-轨耦合振动系统稳定域由其稳
 mk k k k





 定边界函数约束的特点，设计分层自适应采样估计
 √ √ √

 g g mg


 a 2 =− k 1 −2ω 1 ζ 1 k 2 +C o k 3 − （HASE）方法，算法流程图如图 所示，具体步骤如下：

mk mk k
 3




 [ ] [ ]
 2 2 网格分类 空间网格粗划分

 2g(C o m+1)−ω z o 2g(C o m+1)−ω z o
1
1

 k 5 − R


 2k 2k





 √ √

 g g 2gω 1 ζ 1 R
 2gω 1 ζ 1
 2
 k 1 −ω
 a 1 = −2ω 1 ζ 1 k 2 − k 5 − 稳定性
 1 稳定网格 不稳定网格 边界网格
 mk mk k k

 判断



 不
 √
 2 2
 gω gω R 满
 g
 a 0 = −ω k 1 − k 5 − 足
 2 1 1

 1
mk k k 判
（4） 拉丁超立方 据
采样验证 小于
式中，I 为单位矩阵； λ为特征根。 网格最高
满足判据 分辨率
基于 Routh-Hurwitz 判据，可得系统关于系统参
等于
数和反馈控制系数的恒稳定区间满足的不等式条件为： 稳定域总体积
计算稳定 网格细分

a 5 > 0 体积







a 4 > 0 图 3 分层自适应采样估计流程





 a 4 a 3 −a 5 a 2 Fig. 3 Flow of HASE
b 1 = > 0




 a 4 （5）
 b 1 a 2 −a 4 b 2
 步骤 1：参数空间粗采样。对于参数空间，基于
c 1 = > 0



 b 1

 各个维度的当前分辨率进行空间网格粗划分，将空

 c 1 b 2 −b 1 c 2
d 1 = > 0



 间网格点集合设置为初始采样点集合。
 c 1



 e 1 = a 0 > 0
步骤 2：局部空间网格分类。将空间网格点集合
则系统的稳定边界约束方程组可以表示为： 中各点代入稳定边界约束不等式组（5），判断其稳定
 性，通过所有空间网格点的稳定性来初步判断各个
a 4 = 0





 空间网格是属于稳定区域、非稳定区域还是稳定边

 a 4 a 3 −a 5 a 2
b 1 = = 0



 a 4 界经过的边界区域，每个采样点对应的空间区域网




 b 1 a 2 −a 4 b 2 （6）
c 1 = = 0 格体积由各维度分辨率和各维度可调节范围求得，


 b 1


 对应求解公式见算法伪代码。

 c 1 b 2 −b 1 c 2
d 1 = = 0



 c 1 步骤 3：网格类别验证。对局部空间网格进行拉




e 1 = a 0 = 0

丁超立方采样（LHS）估计验证，通过总采样点中稳定
式（6）实际上表征了系统参数空间中的稳定边界 点比例判定验证局部空间网格稳定或非稳定是否正
流形，由流形所约束的区域则为对应的系统稳定区域。 确，将正确的稳定区域体积加入稳定域总体积中，不

符合稳定或非稳定条件的局部空间网格归入边界区域。
2 稳 定 边 界 约 束 的 分 层 自 适 应 采 样 步骤 4：边界区域细分。对于大于分辨率划分的
网格空间的边界区域，基于二分法对局部空间网格
针对高维空间稳定域难以直观表征的状况，定 细分，并更新当前各维度分辨率和采样点对应的空
义稳定域体积为国际单位制下系统参数空间内所有 间网格体积，对细分后的局部网格重复步骤 2~4，直
稳定点表征的空间网格体积之和，选择以稳定域体 至边界区域大小小于基于调节分辨率划分的网格空
积为指标来分析参数可调节范围内的高维稳定域变 间体积。
化情况。 步骤 5：边界区域估计。基于细分结束后的边界
由式（4）和（5）可知，在高维空间中，通过稳定域 区域拉丁超立方采样点中的稳定点比例估计边界区
函数显示表达并通过多重积分求解稳定域体积的方 域中的稳定区域体积，将稳定区域体积加入稳定域