Page 89 - 《振动工程学报》2026年第3期

第 3 期 赵春风，等： 单质点周期结构超材料带隙分析和调谐 689

频散曲线。

图 7 内、外腔弹簧刚度比对衰减常数的影响（三维表面）
Fig. 7 The influence of the stiffness ratio of the inner and
outer chamber springs on the attenuation constant
（3D surface）

图 9 内、外腔质量比对带隙的影响
Fig. 9 The influence of the mass ratio of the inner and outer
cavities on the bandgap

当 α=0 时 ，原 系 统 将 演 化 为 无 振 子 的 弹 簧 模
型，系统不会发生局域共振模式下的运动状态。因
此，在图 9（a）中不存在局域共振带隙，仅存在由布
拉格散射模式控制的第一带隙。当 α≠0 时，内腔 m
会激发系统在局域共振模式下运动，局域共振带隙
也随之产生。随着 α 的不断增大，该系统可以产生
图 8 内、外腔弹簧刚度比对衰减常数的影响（二维表面）
带宽约 0.5ω 1 的耦合带隙，带隙位置逐渐向低频移
Fig. 8 The influence of the stiffness ratio of the inner and
动 。 当 α =2 时 ，第 一 带 隙 的 起 始 位 置 可 以 低 至
outer chamber springs on the attenuation constant
（2D surface） 0.63ω 1 。
内、外腔质量比 α 对带隙宽度和位置的影响如
逐渐缩小。 图 10 和 11 所示。对比图 11 与 8 中局域共振光带的
在布拉格散射机制中，内/外腔质量块同向振 移动趋势，调节 α 时所产生的局域共振光带趋势与
动，外腔左右两侧的弹簧 K 中的弹性势能与系统的 调节 β 时的结果恰恰相反。α 的值越大，光带位置越
动能相互转化从而产生布拉格带隙。在局域共振机 靠近低频，这也与式（18a）相对应。观察图 11 中第
制中，内/外腔质量块异向振动，外侧弹簧 K 的弹性 一段彩色部分，调节 α 对第一带隙的宽度及位置影
势能与整个系统的动能以及内腔弹簧 k 的弹性势能 响很小。将 α 从 1 调节至 2 所带来的带隙位置变化
之间转化，直至外侧弹簧 K 的弹性势能为 0。因此， 为 0.255ω 1 ，而带隙宽度变化仅为 0.06ω 1 。另外，当
当 β 值越大，所对应内腔弹簧 k 的等效刚度越大。内 α>0.5 后，第二带隙的位置基本不会因为 α 的增大
腔弹簧 k 容易介入弹性势能与动能之间的转化，使
得系统更容易实现从布拉格散射模式转化至局域共
振模式。系统中的能量转化愈加激烈，在图 8 中表
现为局域共振光带的颜色随着 β 的增大而加深，意
味着对应的衰减常数提高。需要注意的是，随着 β
的增大，系统的共振频率也会随之后移，这会导致对
低频波的衰减效果降低。

2. 2 质量比
调节内、外腔质量比 α，保持内、外腔等效弹簧 图 10 内、外腔质量比对衰减常数的影响（三维表面）
刚度比 β=0.5 不变，观察其对频散曲线所产生的影 Fig. 10 The influence of the mass ratio of the inner and outer
响。图 9 展示了当 α=0，0.4，1.1，2 时，系统对应的 cavities on the bandgap（3D surface）