Page 85 - 《振动工程学报》2026年第3期

第 3 期 赵春风，等： 单质点周期结构超材料带隙分析和调谐 685

域。通过对结构的设计，获得反常规的动态材料属 带隙产生的机理，同时计算了其在特定参数下的频
性，如负动态质量 ［7⁃9］ 、负动态模量 ［10］ 、负刚度 ［11⁃12］ ，从 散曲线。通过调整内、外腔弹簧刚度比与质量比使
而实现对波动的控制。 得带隙发生变化，发现了两种带隙机理的耦合规律
超材料的带隙机制包括布拉格散射机制和局域 及过渡位置变化。随后对其进行了频域及时域的分
共振机制 ［13］ 。其中，布拉格散射型声子晶体的带隙 析，验证了理论简化分析方法的有效性及带隙结构
特性主要与晶格常数和结构尺寸有关，在这种机制 和衰减特性的真实性。最后讨论了该简化模型的局
下产生的带隙所对应的波长与结构尺寸相当，这导 限性，展示了理论模型与实际模型存在的部分差异。
致结构尺寸过大 ［14］ 。为了突破这一极限，LIU 等 ［15］
提出了局域共振理论，将用硅橡胶材料包裹的铅制 1 单质点周期结构理论模型
共振单元作为散射体，以环氧树脂作为基体，实现了
小尺寸控制大波长的目的，弥补了布拉格散射理论 在超材料结构中单胞按照周期排列。当弹性波
的缺点。 在单胞中传播时，单胞并不是固定不动的，而是围绕
诸多学者对布拉格散射机制和局域共振机制诱 平衡位置做往返运动。由于单胞之间也存在着相互
发的带隙进行了研究。考虑到带隙所具备的禁波特 作 用 力 ，因 此 各 个 单 胞 之 间 的 运 动 也 是 相 互 联 系
性，许多研究致力于设计拥有尽可能低且宽的带隙 的 ［29］ 。考虑一维超材料结构的振动情况，利用振子
范围的超材料单胞。相对较宽的布拉格带隙可以通 来模拟单胞的运动。如图 1 所示，将两个刚性质量
过改良单胞的拓扑结构及材料来获得 ［16］ 。设计不同 单位组成相同的一维晶格。单元格以间距 a 周期性
的谐振器，使其多模态弯曲共振与超材料的弯曲振 地排列。
动模式相互耦合，可以获得多个局部共振带隙 ［17］ 。
同时，通过对不同谐振器施加双周期特性，可以在不
同频率范围内实现单负性（负质量或负模量）或双负
性特征，从而在超材料单胞低频范围内产生局域共
振带隙 ［18］ 。然而，大部分研究得到的局域共振带隙
较为狭窄，拓宽带隙仍然是声学超材料应用的一个
挑战。为了解决上述问题，还有学者引入了惯性放
大机制，其作用在于激发结构中的局域共振，从而产 图 1 单质点周期系统
生带隙。在这种机制中，惯性力在产生反共振频率 Fig. 1 Single⁃particle periodic system
的结构中的两点之间增强，并且增强的惯性有效地
在 同 一 单 胞 中 ，两 个 刚 性 质 量 块 分 别 为 M 和
抵消了弹性力 ［19］ 。另外，利用耦合布拉格散射机制
m。相邻的外腔由弹簧 K 连接，内、外腔由弹簧 k 相
和 局 域 共 振 机 制 ，可 以 在 低 频 范 围 内 实 现 宽 带
连，从而将单胞之间的相互作用力用弹簧的弹性恢
隙 ［20⁃21］ 。目前针对布拉格散射机制和局域共振机制
复力来实现。每一个超材料单胞中存在一个相同局
诱发的带隙已经有了诸多研究，这些研究大多注重
部谐振单元（内腔 m），进而形成单质点周期结构。
于超材料的形状设计，通过不断地优化形状得到理
想的带隙 ［22⁃24］ 。仅有少量研究对两种不同机制带隙 对于一维无限个单质点的周期系统，假设系统
的产生和耦合机理进行分析 ［25］ 。此外，诸多学者在 只在 x 方向上运动。当弹性波在该系统中传播时，
可调谐超材料方面进行了研究。调谐的实现形式可 第 j 个单胞的运动方程为：
2
)
分为两种：一种为刚度比调谐，例如压电调谐 ［26］ 、磁流 ì ( ) j d u 1 ( j ) + 2k( u 1 - u 2 -
ï
ï M
( ) j
( ) j
ï
变调谐 ［27］ ，通过改变材料的弹性模量进而改变等效 ï dt 2
ï ï ) ) ( ) j
刚度。另一种为质量比调谐，通过注水等方式改变 í K ( u 1 ( j + 1 + u 1 ( j - 1 - 2u 1 ) = 0 （1）
ï ï
ï
)
2
内部振子质量，从而达到调节内、外腔质量比的目 ï m d u 2 ( j ) - 2k( u 1 - u 2 = 0
ï ( ) j
( ) j
( ) j
ï
î
的 ［28］ 。由于可调谐超材料的研究大多为实体设计， ï ï dt 2
( j )
理论研究较少。因此，为了更好实现带隙位置的可 式中， u η 表示第 j 个晶胞中质量块 η 的位移。
控以及动态调节，对超材料带隙的耦合机理、刚度比 对于第 j+n 个晶胞，其位移的表达式为：
( ) j
和质量比对带隙的影响规律进行理论研究是有必 u η = A η e i( nqa - ωt ) （2）
要的。 式中，A η 为振幅，η=1，2；q 为波数；ω 为角频率；t 为
本文研究了一种单质点周期结构超材料，基于 时间。
系统能量转化的原理解释了布拉格带隙与局域共振 将式（2）代入式（1），可以得到 u 1 和 u 2 的振幅
( j )
( j )