Page 80 - 《振动工程学报》2026年第3期

680 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

M N 于板呈均等对称分布。符号 F、S 和 C 分别表示自
P
u ( x，y，t) = e -iωt ∑ ∑ Y m ( x )Y n ( y ) P （19）
m =-2 n =-2 由、简支和固支边界。本文对加筋板的频率进行了
P =[ A B C D E ] T （20） 无量纲化，其公式为：
Ω =( ωb π ) ρh D
2
2
式 中 ，P 为 未 知 的 未 知 级 数 展 开 系 数 ，其 中 A、 B、 （24）
] )
C、 D 和 E 分别对应 u、 v、 w、 ϕ x 和 ϕ y 方向位移的未 式中，D =( E 2 h 3 ) [ 12( 1 - μ 12 。
2
知级数向量；ω 为结构的特征圆频率；M 和 N 为截断
数 ，决 定 计 算 精 度 ；Y m 和 Y n 表 示 结 构 的 模 态 约 束 2. 1 模型验证
振型：
ì mπx 选取截断数 m=n=14进行计算。运用各向同性
ï ï sin ，m < 0 材料进行验证。材料参数定义如下：E 2 =207 GPa，
ï ï a
Y m ( x )= í ； μ =0.3， ρ =7800 kg/m 。 几 何 参 数 定 义 为 ：a=
3
ï ï mπx
ï ï cos a ，m ≥ 0 2 m， b=1 m。无量纲频率不受尺寸或材料属性的
î
ì nπy 影响，可以在不同的物理系统之间进行有效的比较
ï ï sin ，n < 0 和预测。表 1 给出了各向同性加筋板在不同边界条
ï ï
Y n ( y )= í b （21） 件下的前 4 阶无量纲频率 Ω，图 4 给出了加筋板的位
ï ï nπy
ï ï cos b ，n ≥ 0 移响应比较结果。对比结果显示本文建立的模型与
î
加筋板由矩形板和加强筋构成，因此加筋板的 实例吻合较好，这表明本文所建立的加筋板振动模
总拉格朗日函数可以表示为： 型的有效性及准确性。
I 对功能梯度石墨烯矩形板结构进行验证。选用基体
L = L P + ∑ [ L b] i （22） 3
i = 1 材料参数：E M =3.0 GPa， μ M =0.34， ρ M =1200 kg/m 。
式中，I 表示加筋数量。 选用石墨烯材料参数：E GPL =1010 GPa， μ GPL =0.186，
将式（6）~（20）代入（22）中 ，并对未知谱几何 ρ GPL =1060 kg/m ， l GPL =2.5 μm， d GPL =1.5 μm，h GPL =
3
*
系 数 求 偏 导 ，并 使 其 为 0，可 以 得 到 加 筋 板 结 构 的 1.5 nm， g GPL =0.01， h/a=0.02， a=1 m， b=1 m，
运动方程，表示为：
( K - ω M) P = F （23） 表 1 加筋板不同边界前 4 阶无量纲频率 Ω
2
式中，K 为广义刚度矩阵；M 为广义质量矩阵；F 为 Tab. 1 First four order non-dimensional frequency Ω for
stiffener plates in different boundary
广义力幅值矩阵。
通过求解式（23）可以得到加筋板结构在各边 C-C-C-C S-C-S-C
界条件下的振动特性。 h b /h 阶数 本文结果 文献[23] 本文结果 文献[23]
结果 结果
1 阶 2.6323 2.6356 2.5373 2.5403
2 数值算例与分析
2 阶 3.4528 3.4627 3.0825 3.0890
1
3 阶 4.8828 4.8815 4.1807 4.1763
本节将利用建立的数值模型对加筋板的振动特
4 阶 6.7830 6.7784 6.0095 6.0138
性进行研究。首先对本文建立的数值模型进行实例
1 阶 2.8201 2.8543 2.7032 2.7368
验证。如无特别说明，后续计算采用四条筋的加筋
2 阶 3.7532 3.8065 3.2861 3.3274
板，各加强筋的截面尺寸一致，如图 3 所示。宽度 1.5
3 阶 5.3178 5.3446 4.4764 4.4914
b b =0.01 m，长度 h b =0.01 m。加筋板参数如下：a=
4 阶 7.1488 7.2195 6.6109 6.6596
1 m， b=1 m， h=0.01 m， L 1 =a， α 1 =0， L 2 =a，
α 2 =0， L 3 =b， α 3 =π/2， L 4 =b， α 4 =π/2。加强筋关

图 4 加筋板位移响应对比
图 3 分析模型图示（单位：m） Fig. 4 Comparison of displacement response of stiffener
Fig. 3 Analysis model diagram （Unit：m） plates