Page 79 - 《振动工程学报》2026年第3期

第 3 期 杨 庆，等： 功能梯度石墨烯加筋矩形板动力学行为分析 679

( k ) 阵，其中应力矩阵与材料参数相关，具体表达式参考
式中，V GPL 为第 k 层板的 GPL 体积分数；μ P、 μ GPL 和 μ M
分别为矩形板、GPL 和基体材料的泊松比；ρ P、 ρ GPL 和 文献［19⁃20］；u 和 K b 分别为板的位移矩阵和边界刚
P
度矩阵。
ρ M 为相应的材料密度；E 为相应的杨氏模量；ξ L 和 ξ W
为 GPL 的几何参数； η L 和 η W 为 GPL 的内部参数。
1. 4 加强筋的能量泛函
1. 3 板的能量泛函
基 于 一 阶 剪 切 变 形 梁 理 论 ，加 强 筋 在 坐 标 系
通过上述材料参数得到 FG⁃GPLRC 的本构模 O i x i y i z i 下的位移场表达式为：
型，基于一阶剪切变形板理论（FSDT）进行建模，板 ï ï ) b ) b
ì u b( x，y，z = u 0( x，y + zϕ x
的位移场表达式为： ï ï ) b ) b （10）
í v b( x，y，z = v 0( x，y + zϕ y
) ) ï ï
ï ï ) b ) b
ì u P( x，y，z = u 0( x，y + zϕ x
ï ïw b( x，y，z = w 0( x，y - yϕ y
ï ï ) ) î
í v P( x，y，z = v 0( x，y + zϕ y （5） ［21⁃22］
ï ï 加强筋的拉格朗日函数为 ：
)
ï ïw P( x，y，z = w 0( x，y ) L b = T - U s b （11）
î
b
b
b
式中，u 0 、v 0 和 w 0 分别为在板中表面沿 x、 y 和 z 方向 式中，T 为加筋板结构的总动能；U s 为加筋板结构
的 位 移 ；ϕ x 和 ϕ y 分 别 为 绕 y 轴 和 x 轴 旋 转 的 位 移 的总应变能。
分量。 加强筋的应变能、动能的表达式为：
拉格朗日方程是一组二阶微分方程，可用于描 b 1
U s = A b∫ σ b ε b dL （12）
述系统的能量与系统状态的函数关系，并且可以推 2 L
导系统的动力学方程，因此本文对系统动力学的描 T = ρ m ∫( A b u b + A b v b + A b w b +
2
b
2
2
2
述通过拉格朗日函数进行。
2 2 （13）
dI ϕ xb + Jϕ yb ) dL P
z'
板结构的拉格朗日函数为：
式中，σ b 和 ε b 分别为加强筋的应力矩阵和应变矩阵，
P P P （6）
L P = T - U s - U sp
它们与加强筋的杨氏模量 E m 和加强筋的剪切模量
式中，T 为板结构的总动能；U s 为板结构的总应变
P
P
G m 有关；A b 为加强筋的横截面积； I 和 J 分别表示加
能；U sp 为系统模拟的边界势能。 z'
P
强筋在 z i 轴横截面的第二弯矩和扭转常数。
基于广义胡克定律，矩形板的应变能、动能以及
位移分量（u b ， v b ， w b ）可以经由坐标转换矩阵，
边界势能的表达式为：
从坐标系 O i x i y i z i 中转变到坐标系 Oxyz 中，表示为：
1 a b
P
U s = ∫ ∫ σεdydx （7） b P b T
2 0 0 u = T bP u ，u =[ u b v b w b f xb f yb ] ，
é
∂w
ê ê ∂u
ρ ∫ êê( ) ( ) ( ) 2 ù ú ú écosα -sinα 0 -ecosα -esinα ù ú
2
2
∂v
ê
P
T = ê ê + + ú ú dV （8） ê ê ú ú
2 V ë ∂t ∂t ∂t û ê ê sinα cosα 0 esinα -ecosα ú
ê
T bP = ê 0 0 1 0 0 ú ú （14）
T ê ú
P ] ， ê ú
u =[ u P v P w P ϕ xp ϕ yp cosα -sinα
ê 0 0 0 ú ú
ê
ê
}
K b = diag{k u，k v，k w，K fx，K fy ， ë 0 0 0 sinα cosα û
1 b é T | | | | | ù é T | | | | | ù } 式中，e = （h+h b ）/2 为偏心率；T bP 为转变矩阵。
u
u
P
P
P
U sp = ∫{ ë ( ) K b u p | û + ( ) K b u P | û dy + 加强筋的应变能和动能表达式能转变为：
ë
2 0 x = 0 x = a
1
T
b
T
T
T
1 b ì é T | | | | | ù é T | | | | | ù ü U s = ∫ u P T bP L b D b L b T bP u P dL P （15）
∫ í ( ) K b u P | û + ( ) K b u P | û ý dx 2 L
u
u
P
P
2 0 î ë y = 0 ë y = b þ
T
T
b
T = ρ m ∫ u P T bP mT bP u P dL P （16）
（9） 2 L
式中，σ 和 ε 分别为矩形板单元的应力矩阵和应变矩 式中，L b 、D b 和 m 可以表示为 ［23］ ：
ê éA b E m ∂ l 2 0 0 0 0 ù ú
ê ê ê 0 A b G m ∂ l 2 0 0 0 ú ú
L b D b L b = ê ê ê 0 0 A b G m ∂ l 2 0 0 ú ú ú （17）
T
ê ê ú
ê ê 0 0 A b G m A b G m + dI E m ∂ l 2 0 ú ú ú
z′
ë ê 0 0 0 0 JG m ∂ l 2 û
dI J } （18） 1. 5 振动特性求解
m = diag{A b A b A b z′
式 中 ，∂ l 表 示 偏 微 分 的 算 子 ， ∂ l = ∂ ∂l；d 表 示 微 分 运用谱几何级数 ［24］ ，可将矩形板结构的弯曲振
符号。 动位移表示为：