Page 90 - 《振动工程学报》2026年第3期

690 振 动 工 程
图 11 内、外腔质量比对衰减常数的影响（二维表面）
Fig. 11 The influence of the mass ratio of the inner and outer
cavities on the bandgap（2D surface）
而发生变化。结果表明，单独调节内、外腔质量比会
影响第一带隙的产生。但是针对低频带隙，需要将
α 调 节 至 较 大 值 才 能 实 现 在 低 频 范 围 打 开 第 一 带
隙。同时，质量比的变化对低频带隙耦合位置以及
带隙宽度变化的影响很小。
3 频域分析
为了证实衰减常数的准确性，建立有限单质点
周期结构传输分析二维模型，如图 12 所示。其中，
内、外腔等效弹簧通过桁架单元模拟。模型两侧采
用映射方式绘制网格，超材料部分采用自由三角形
网格。以点荷载的方式在模型左端设置振源，在水
平方向施加单位 1 的位移激励，模型边界处施加低
反射边界条件。拾取超材料模型左侧（AB 边）响应
并记为输入（X in ），取模型右侧边界响应（CD 边）处
的平均线位移，记为输出（X out ），用透射系数来表示
弹性波的衰减情况，其公式为：
( )
X out
TS = 20 lg
X in
模拟了 α=0.4、β=1 时该系统的传输衰减特性
曲线，并将透射系数低于−20 dB 的频率区间定义
图 12 有限单质点周期结构传输分析模型
Fig. 12 Finite single⁃particle periodic structure transmission
analysis model
学 报 第 39 卷
为带隙范围。图 13 中灰色部分为衰减域范围。对
比图 6（c）可以看出，传输曲线所展现出的衰减效果
与理论计算所得的带隙范围基本吻合。ω/ω 1 =0~
1.5 时，未见明显的衰减效果，对应于图 6（c）中的第
一段平直段。ω/ω 1 =1.5~2.65 时，超材料对该频段
的弹性波有明显的衰减效果，对应于图 6（c）中的第
一段带隙。ω/ω 1 =2.65~2.94 时无衰减效果，对应
于图 6（c）中的第二段平直段。随后在 ω/ω 1 =3 左右
时又产生新的带隙。
值得关注的是，图 13 中可以观察到第一带隙中
的布拉格带隙和第二带隙中的布拉格带隙（图中蓝
色阴影部分）衰减效果相当，而第一带隙中的局域共
振带隙（图中红色阴影部分）衰减效果要明显优于布
拉格带隙。在第一带隙初始位置处的衰减效果较为
一般，平均衰减效果仅为−43 dB。而在图 6（c）中所
描绘出的曲线峰值位置，即衰减常数最大值位置处
（ω/ω 1 =2.23），透射曲线表现出了强衰减效果，最大
衰减效果为−116.7 dB。衰减效果的差异正对应于
两种带隙产生机制的区别 ［36］ 。这也从另一个方面证
实了此段带隙是由布拉格散射机制与局域共振带隙
共同耦合而成的宽带隙，从而对理论所得的带隙结
构准确性进行了验证。同时说明了布拉格散射机制
所产生的带隙对波的衰减效果要低于由局域共振机
制产生的带隙。
（19）
图 13 单质点周期结构透射曲线
Fig. 13 Transmission curve of a single⁃particle periodic system
4 时域分析
为了研究该类超材料在带隙范围内的衰减性
能，对其进行时域分析。通过正弦函数生成指定频
率的谐振波并将其作为激励信号。输入两种不同频
率的谐振波，对应 f 1 =0.75ω 1 和 f 2 =2ω 1 两种激励条
件，分别计算当谐振波频率位于带隙外及带隙内时
超材料的动力响应。过程中暂不考虑阻尼。
如图 14 所示，当谐振波的频率处于带隙外时，