Page 87 - 《振动工程学报》2026年第3期
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第 3 期                      赵春风，等： 单质点周期结构超材料带隙分析和调谐                                        687

              值。超过这个角频率，外腔弹簧 K 的弹性势能将不                          高 度 吻 合 的 。 需 要 注 意 的 是 ，第 一 带 隙 中 部 分 衰
              能转换成足够的动能来激活系统中每个有效质量                             减常数要大于第二带隙。
              M eff 的运动。系统中不存在与之对应的振动传播模
              式，此时对应产生的带隙为布拉格带隙                 ［30］ 。
                  对于图 3 中所描述的有效质量系统，第 j 个单胞
              的运动方程为：
                       2 ( ) j
                     ( ) j d u     ( ) j   )      )
                                               ( j + 1
                   M eff   + K ( 2u - u ( j - 1  - u ) = 0 （9）
                       dt  2
                  将式（2）代入式（9），可得到有效质量系统中的
              频散方程为：
                            2
                       M eff ω - 2K ( 1 - cos( qa)) = 0  （10）
                  比较式（4）和式（10），得到有效质量 M eff 的表达
                                                                           图 4  单质点周期系统频散曲线
              式为：                                               Fig. 4  Frequency  dispersion  curve  of  a  single⁃particle
                                         2km                           periodic system
                           M eff = M +                 （11）
                                      2k - mω  2
                  将式（11）代入式（8b），可以得到等效质量系统                      1. 2 局域共振模式
              在布拉格模式下起始频率的表达式为：                                      局域共振模式中，A 1 >0，A 2 <0。如图 5 所示，此
                               )
                     2k( M + m + 4Km
               2
              ω BG⁃s =                 ±                        时单质点周期系统中内、外腔的运动趋势相反，系统
                           2Mm
                                                                中能量的相互转化包括内、外腔体的动能及内、外腔
                                 )
                                          2
                      [ 2k( M + m + 4Km  ] - 32KkMm             弹簧 K 中所储存的弹性势能。考虑极限状态下，所有
                                                       （12）
                                   2Mm                          外腔 M 同向运动，所有内腔 m 则与其相向运动。
                  则布拉格模式下归一化起始频率可表示为：
                    2     β
                  ω BG⁃s           )
                       =
                     2 ( α  + β + 2 ±
                   ω 1
                         β               α  2  α 2  α )
                                   2
                                         (1 + α ) + 4  +  -  （13）
                         α              ( β   β 2  β                     图 5  局域共振模式下系统的运动状态
                  基于式（4）的频散方程，假定参数 α=0.4，β=                     Fig. 5  The  motion  state  of  the  system  in  local  resonance
              0.5。此时，系统的频散曲线如图 4 所示，其中无量                               mode
              纲 频 率 定 义 为 ω/ω 1 ；无 量 纲 波 数 定 义 为 qa，同 时
                                                                     该状态下连接相邻外腔的弹簧 K 的弹性势能不
              对 其 进 行 了 归 一 化 处 理 。 频 散 曲 线 中 ，每 一 个 点
                                                                对系统提供能量，整个系统中机械能的变化仅局限
              代表角频率为 ω 的简谐振动在单质点周期系统中
                                                                于每个单胞内、外腔的相对运动。此时相邻单胞之
              的 振 动 传 播 模 式 。 实 部 代 表 弹 性 波 的 相 位 关 系 ，
                                                                间的相对间距 a 保持不变。在同一个单胞内，外腔
              虚部表示弹性波的衰减常数              ［31］ 。两条曲线之间的           M 与内腔 m 反向振荡，且系统质心保持静止，此时
              空 白 部 分 即 表 示 在 该 频 率 下 ，系 统 没 有 对 应 的 振          的 振 荡 频 率 对 应 于 局 域 共 振 模 式 下 的 带 隙 截 止
              动模式。这导致了该频率范围内的振动无法在系                             频率。
              统中稳定传播，该范围就是带隙。如图 4 所示，虚                               此时系统中从 t 0 至 t 1 时间段内所变化的动能与
              线和实线分别代表实部和虚部。其中虚部纵坐标                             弹性势能为：
              断开位置即为带隙位置。观察频散曲线中的实数                                              1     ( ) j  ( ) j  2
                                                                         T M + m =  M ( u ̇ 1 | t 1  - u ̇ 1 | t 0) +
              部分，当无量纲波数 qa 为 1，即相邻单胞的运动方                                         2
                                                                               1        - u ̇ 2 | t 0)  2
              向 相 反 ，此 时 产 生 了 第 一 条 布 拉 格 带 隙 。 由 于 单                              ( ) j  ( ) j         （14a）
                                                                                m( u ̇ 2 | t 1
                                                                               2
              胞相对运动时有两种不同的运动情况，导致图 4 中
                                                                                  ( ) j  ( ) j  - u 2 | t 1) -
                                                                                               ( ) j
              存在两条布拉格带隙。将给定参数代入式（13），可                                   U k = k( u 1 | t 1)( u 1 | t 1
                                                                                 ( ) j  ( ) j  - u 2 | t 0)
                                                                                               ( ) j
              得 布 拉 格 散 射 模 式 下 两 个 起 始 频 率 分 别 为                                k( u 1 | t 0)( u 1 | t 0  （14b）
              1.317ω 1 和 2.4ω 1 。 这 与 图 4 中 描 述 的 第 一 带 隙            同样地，当 t=t 0 时，对于第 j 个单元，外腔 M 和
             （1.32ω 1 ~1.88ω 1 ）和 第 二 带 隙（2.41ω 1 ~）的 位 置 是     内 腔 m 的 速 度 为 0；当 t=t 1 时 ，系 统 达 到 速 度 最 大
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