Page 86 - 《振动工程学报》2026年第3期

686 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

之间的关系为：
é-Mω + 2k + 2K -2k -K (1 + e -iqa ) ú ú ù 0
2
ê ê
det ê ê ú ú = 0 （3a）
ë -2k -mω + 2k 0 û 0
2
A 1
A 2 = （3b）
ω 2
1 -
2
ω 0
2k
式中，ω 0 = 表示单胞系统内部质量 m 的局部共
m
图 2 布拉格散射模式下系统的运动状态
振频率。设定系统向右运动为正。从式（3b）中可以
Fig. 2 The motion state of the system in Bragg diffraction
得到，当弹性波在单质点周期系统中传播时，内、外
mode
质量块会出现两种运动状态：当 ω<ω 0 时，A 2 >0，此
时各个单胞中外腔 M 与内腔 m 运动方向相同，系统 弹性势能与有效质量 M eff 动能之间的相互转换。
为布拉格散射模式；当 ω>ω 0 时，A 2 <0，此时各个单
胞中外腔 M 与内腔 m 运动方向相反，系统为局域共
振模式。
将式（3）代入式（1）后，得到关于 A 1 和 A 2 的齐次 图 3 等效质量模型
方程，从这两个齐次方程可以得到该系统的频散方 Fig. 3 Equivalent mass model
程为：
Mmω -[ 2( M + m k + 2mK ( 1 - cos( ) ] ) ω + 设定时间从 t 0 至 t 1 ，则有效质量 M eff 中的动能及
)
qa
2
4
分别来自左、右两侧弹簧 K 的弹性势能在该段时间
4Kk( 1 - cos( qa)) = 0 （4） 内的变化可以表示为：
衰减常数 Im（qa）可以由单元的内、外腔质量和 1 ( j ) 2 1 M eff( u ̇ | t 0) 2
( j )
= M eff( u ̇ | t 1) - （6a）
T M eff
m 2 2
等效弹簧刚度的相关参数来描述，定义 α = ； β = ( ) j ( ) j ( j - 1 )
M U K = K ( u | t 1)( u | t 1 - u | t 1) -
k 2 2K α 2 ( ) j ( ) j - u ( j - 1 ) | t 0) （6b）
K ；ω 1 = M = β ω 0。其中 ，参数 α 表示内、外腔质 K ( u | t 0)( u | t 0
设定当 t=t 0 时，系统速度为 0；当 t=t 1 时，系统
量块的质量比；参数 β 表示内、外腔等效弹簧的刚度
速度达到最大值。则系统动能及左、右两侧弹簧 K
比；ω 1 表示外腔的共振频率。则衰减常数可描述为：
é ê ê 2( 2αβ ) 2 4 弹性势能的最大值为： 2
( ) j
2
2
Im ( qa )= arccos ê ê ê 1 1 + ω 2 ω - T max = 1 M eff( u ̇ | t 1) = 1 ω A M eff （7a）
ê 2β - α 4 M eff 2 2
ê ê ë ω 1 2 ω 1 0 ≤ U K = 2 × êê ê ê é 1 KA( A - u ( j - 1 ) | t 1) ≤ 2KA （7b）
ù
ú ú
( 2αβ ) ω 2 ù ú ú ú ú ë 2 û
ú ú
2
2 1 + 2β - α ω 2 2 + 1ú ú ú ú （5） 由式（7a）可得，当振幅 A 恒定时，系统动能随着
û
ω 1 2 ω 1 频率的增大而增大。式（7b）表明，系统两侧弹簧 K
的弹性势能是有限的。为了保持每个有效质量块
1. 1 布拉格散射模式 M eff 具有相同的位移幅度 A，且不发生衰减，这要求
两侧弹簧 K 所有的弹性势能都转化为有效质量块
从能量转换的角度分析布拉格散射模式与局域
M eff 的动能。当相邻有效质量 M eff 同向运动时，弹簧
共振模式产生带隙的机理。在布拉格散射模式中，
A 1 和 A 2 均大于零，此时单质点周期系统中的内、外 K 的弹性势能会达到最小值 0；当相邻有效质量 M eff
异向运动，弹簧 K 的弹性势能有机会达到最大值。
腔同向运动。图 2 描述了在布拉格散射模式下系统
因此在该等效质量系统中传播的弹性波的角频率具
中各个单胞的运动情况。由于内、外腔同向运动，可
有如下式所示的限制：
以将其等效为只由一个有效质量 M eff 与单个弹簧 K
1
2
2
组成的质量模型。 ω BG A M eff = 2KA 2 （8a）
2
图 3 中描述了将布拉格模式下的单质量周期系 4K
2
ω BG = （8b）
统等效为由有效质量 M eff 构成的质量弹簧系统。此 M eff
时，弹性波在系统内的传播实际上是外腔弹簧 K 中 式（8b）表示在这种运动模式中系统频率的最大