Page 88 - 《振动工程学报》2026年第3期

688 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

值 。 将 设 定 代 入 式（14a）中 ，可 得 到 系 统 动 能 最 为 单 一 的 布 拉 格 带 隙 ，衰 减 常 数 表 现 为 平 滑 的
大值： 曲线 ［4，33⁃34］ 。
1 ( ) j 2 1 ( ) j 2
max
T M + m = M ( u ̇ 1 | t 1) + m( u ̇ 2 | t 1) =
2 2 2 带隙调谐
é 4k m ù
2
1 ê ê ú ú
ω A 1ê ê ê ú ú （15）
2ê M +
2
2 ë (2k - mω 2 ) 2 û 2. 1 刚度比
此时外腔弹簧 K 中可获得的弹性势能为：
观察式（13）和（18）可以发现，系统刚度比与质
é
ê ê
2
1 2ê M + 4k m ù ú ú 量比对结构带隙的影响最大。考虑到实际工程应
max
2
U K = T M + m - U k = ω A 1ê ê ê 2 -
ú ú
2 ë (2k - mω 2 ) û 用，令刚度比和质量比在 0~2.5 范围变化。调谐内、
m ω 4 外腔等效弹簧刚度比 β，并观察其对频散曲线所产
2
2 （16）
kA 1 2
(2k - mω 2 ) 生的影响。图 6 中分别展示了 β=0.1，0.5，1，1.5 时
当相邻外腔同向运动时，外腔弹簧 K 的弹性势 对应的频散曲线。随着 β 值的不断增大，第一带隙
能达到最小值 0；当相邻外腔相向运动时，外腔两侧 逐渐被打开，且宽度不断增大，带隙位置从 0~ω 1 平
2
弹簧 K 的弹性势能达到最大值 2KA 1。为了激发波 移至 ω 1 ~2ω 1 。当 β 从 0.5 变化至 1.5 时，带隙位置变
在系统中的传播，内、外腔质量块的动能与内、外腔 化为 0.27ω 1 ，带隙宽度变化达到 1.1ω 1 。另外，第一
弹簧的弹性势能之间相互转化。当外腔弹簧 K 的弹 带隙中两种机制耦合位置处的衰减常数也逐渐提
性势能为 0 时，所有的动能均转化为内腔弹簧 k 的弹 高。第二带隙位置会随着 β 的增大而后移，两条带
性势能。此时可以得到局域共振带隙的起始与截止 隙之间的间隔逐渐减小。这意味着第一带隙与第二
频率分别为： 带隙可以合并成一条带隙。
2k
ω LR⁃s = ω 0 = （17a）
m
2k( M + m )
ω LR⁃e = （17b）
Mm
局域共振带隙的归一化起始与截止频率为：
2k
m 2β
ω LR⁃s
= = （18a）
K α
ω 1
M
2k( M + m )
α
Mm ( )
ω LR⁃e
= = 2 + β （18b）
K β
ω 1
M 图 6 等效弹簧刚度比对带隙的影响
Fig. 6 The influence of the equivalent spring stiffness ratio
将参数 α=0.4、β=0.5 代入式（18），可以得到局
on the bandgap
域 共 振 带 隙 的 起 始 频 率 为 1.58ω 1 ，截 止 频 率 为
1.87ω 1 。这与图 4 中的第一带隙（1.32ω 1 ~1.88ω 1 ）基 内、外腔弹簧刚度比 β 对带隙宽度和位置的影
本吻合。观察图 4 中频散曲线中的实数部分，当无 响如图 7 和 8 所示。图 7 和 8 分别描述了在三维和二
量纲波数 qa 等于 0，即相邻单胞的外腔 M 运动方向 维视角下无量纲波数虚部所代表的衰减常数。其中
相同，这正对应于外腔弹簧 K 的弹性势能为零的情 空白部分表示衰减常数为零，彩色部分即衰减常数
况，此时产生了局域共振带隙。值得注意的是，根据 不为零的位置 ［35］ 。根据图 4 中的描述，当参数 α=
计算结果，第一带隙截止（1.88ω 1 ）时处于局域共振 0.4，β=0.5 时，第一带隙（1.32ω 1 ~1.88ω 1 ）中存在两
模式，而带隙的起始位置（1.32ω 1 ）为布拉格散射模 种机制的过渡位置，该位置已在图 8 中标出。这个
式。这意味第一带隙是由两种机制耦合而成的带 点也是布拉格带隙与局域共振带隙耦合的位置，两
隙。在图 4 中用不同颜色区分了两种机制。布拉格 种机制的耦合导致了带隙的拓宽。在图 8 中存在一
带隙与局域共振带隙相互耦合，进而将第一带隙拓 条高光色带，正对应于两种机制的耦合位置。随着 β
宽 ［32］ 。同时，位于耦合位置处的衰减常数也比其他 的增大，光带位置向高频率偏移，对应的衰减常数也
位置高得多，表现为虚部曲线的突变。第二带隙则 随之提高。同时，第一带隙与第二带隙之间的间距