Page 90 - 《振动工程学报》2026年第2期

406 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

；
，
均匀分布。 ω f = 0.1ω g ξ f = ξ g S 0 为谱强度因子，其表达式如下：
容 易 证 明， 式 （ 21） 构 造 的 正 交 随 机 变 量 集 2
{ } A max
(a j ) (a j ) 2π ( )
R ,I 完全满足式（20）的基本条件。随后，将式（21） S 0 = 1 （27）
l l 2
{ } r πω g 2ξ g +
(a j ) (a j ) 2ξ g
定义的正交随机变量集 R l ,I l 通过某种确定性
式中， A max 为地震动峰值加速度（PGA）的均值； r为峰
的 一 一 映 射 关 系 转 换 为 目 标 的 正 交 随 机 变 量 集
{ (a m ) (a m ) } (a j ) (a m ) (a j ) (a m ) 值因子。
R ,I ，即 R → R ， I → I 。这一确定性的
k k l k l k
通过选用上述演变功率谱模型，能够从强度和
转 换 关 系 可 通过 MATLAB 工 具 箱 中 自 带 的 函 数
频率两方面描述地震动的全非平稳特性。
rand(‘ state’, 0)和 temp= randperm(M × K)来实现。值
得指出的是，基本随机变量 Θ 1 和 Θ 2 的初始代表性点 4.2 小波基的类型
集可采用先进的数论选点方法 [22] 选取，该方法是一
不同的小波母函数直接影响小波基的形状和性
种确定性的选点方法，可实现概率空间的等概率剖
质， 从 而 将 对 非 平 稳 地 震 动 过 程 的 模 拟 产 生 重 要
分，即对于 n sel 个代表性点，每个代表性点的赋得概
影响。本文选取三种小波基 [9] 进行研究，其时、频域
n sel
∑
率为 P l = 1/n sel ，且有 P l = 1。同时，由于初始代表 形状图如图 1~3 所示，其母函数的时、频域形式分别
l=1
性点的概率决定了代表性样本的概率，因此，通过降 如下：
维方法得到的所有代表性样本均具有赋得概率，且 （1）小波母函数形式 1：Mexican Hat（MH）小波
代表性样本集合可构成一个完备的概率集，这为实 2 2 −t /2
2
ϕ(t) = √ √ (1−t )e （28a）
4
现精细化的结构地震反应概率密度演化分析奠定了 3· π
坚实基础。 2 2 −ω /2
2
Φ(ω) = √ √ ω e （28b）
4
综 上， 根 据 式 （ 7） ， 则 可 得 到 非 平 稳 随 机 过 程 3· π
X(t)基于小波变换的降维表达式： （2）小波母函数形式 2：Morlet（MO）小波
2
C ϕ(t) = e cos(5t) （29a）
M ∑ N ∑ −t /2
X(t) = W X (a m ,b n )ψ m,n (t) （22）
a m 2
m n e −ω −25 [ (ω−5) /2 (ω+5) /2 ]
2
2
其中： Φ(ω) = 2 e +e （29b）
( )
2
(σ −1)∆b 1 t −b n （3）小波母函数形式 3：Modified Littlewood-Paley
C = ，ψ m,n (t) = √ ϕ （23）
C ϕ σ
（MLP）小波
a m a m
1 sin(σπt)−sin(πt) （30a）
√
4 非 平 稳 地 震 动 模 型 及 小 波 基 的 选 取 ϕ(t) = π σ−1 × t
0.8

4.1 地震动演变功率谱模型 0.8 0.6
0.4 0.4
在非平稳地震动加速度过程的演变功率谱模型 0 0.2
中，时-频调制函数采用如下形式 [23] ： −0.4 0
[ √ ] −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
exp(−a×t)−exp −(c× ω+b)×t
A(ω,t) = [ √ ]； (a) MH时域 (b) MH频域
∗
exp(−a×t )−exp −(c× ω+b)×t ∗ (a) MH time-domain (b) MH frequency-domain
ω > 0，t > 0 （24） 图 1 MH 小波的时、频域形状图
Fig. 1 Time-domain and frequency-domain shape diagrams of
其中：
√ MH wavelet
ln(c× ω+b)−lna
t = √ , ω > 0 （25）
∗
c× ω+(b−a) 1.0 0.8
式中， b = a+0.001s ，c = 0.005s −1/2 。 0.5 0.6
−1
0.4
对于平稳功率谱密度函数，采用经典的 Clough- 0 0.2
Penzien 谱 [24] ： −0.5
0
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −12 −8 −4 0 4 8 12
ω +4ξ ω ω 2 ω 4
4
2
2
g
g
g
S(ω) = · S 0 (a) MO时域 (b) MO频域
2 2
2 2
(ω −ω ) +4ξ ω ω 2 (ω −ω ) +4ξ ω ω 2 (a) MO time-domain (b) MO frequency-domain
2
2
2
2
2
2
g
g
g
f
f
f
（26）
图 2 MO 小波的时、频域形状图
式中， ω g 和 ξ g 分别为场地土的卓越圆频率和阻尼比； Fig. 2 Time-domain and frequency-domain shape diagrams of
ω f 和 分别为基岩的卓越圆频率和阻尼比，通常取 MO wavelet
ξ f