Page 89 - 《振动工程学报》2026年第2期

第 2 期 刘章军，等：随机地震动过程的小波降维表达 405

w [ w ]
2
1 σ −1 ∞ √ ∞ ∗ iωa m τ iωb
∆a m = [(a m+1 −a m )+(a m −a m−1 )] = a m ， W X (a m ,b) ≈ A(ω,b) a m ϕ (τ)e dτ e dZ(ω) =
2 2σ −∞ −∞
w
∞ [ √ ] iωb
∗
A(ω,b) a m Φ (ωa m ) e dZ(ω) （14）
∆b n = b n −b n−1 = ∆b （6） −∞
于是，式（4）的积分形式可写成如下有限离散的 令 dZ(ω) = √ a m Φ (ωa m )dZ(ω)，则式（14）进一步简
∗
形式： 化为：
w
( ) ∞
(σ −1)∆b t −b n W X (a m ,b) ≈ A(ω,b) e dZ(ω) （15）
M ∑ N ∑ 2 iωb
x(t) = √ W x (a m ,b n )ϕ （7） −∞
C ϕ σa m a m a m
m n 其中， Z(ω)的增量满足如下关系：
式中，M 和 N 分别表示尺度因子和时间因子的离散  [ ∗ ]
E dZ(ω)dZ (ω ) = 0，ω , ω ′
′

总数。因此，通过选择合适的尺度参数 σ和时间步  [ ] （16）

 2 1 2
E dZ(ω) = a m |Φ(ωa m )| S (ω)dω，∀ω


长 ∆b，即可获得函数 x(t)的时-频小波变换表达。 2π

由式（15）和（16）可知，非平稳随机过程 X(t)的小
2 非 平 稳 随 机 过 程 的 小 波 变 换 波系数 W X (a m ,b)也是一个关于连续时间参数 b 的非
平稳过程，其双边的演变功率谱密度为：
根据非平稳随机过程的谱分解理论 [19-20] ，一个零 (a m ) 2 2
S
W (ω,b) = |A(ω,b)| a m |Φ(ωa m )| S (ω) =
均 值 的 非 平 稳 随 机 过 程 X(t)可 表 示 为 如 下 Fourier- a m |Φ(ωa m )| S X (ω,b) （17）
2
Stieltjes 积分形式：
注意到， a m |Φ(ωa m )| 恰为尺度 a m 上小波基函数傅
2
w
∞
iωt
X(t) = A(ω,t) e dZ(ω) （8） 里叶变换的模平方，即
−∞

( ) 2
式中， A(ω,t)为一个慢变的时-频调制函数； Z(ω)为一 w ∞ 1 t −b

dt =
√ ϕ e −iωt

个复的正交增量过程，其增量满足如下关系 [21] ： −∞ a m a m
√
−iωb 2 2
 a m Φ(ωa m )e =a m |Φ(ωa m )| （18）
E[dZ(ω)dZ (ω )] = 0，ω , ω ′
′
∗


 （9）
 2 1
E[|dZ(ω)| ] = S (ω)dω，∀ω


2π 3 基 于 小 波 变 换 的 非 平 稳 过 程 降 维
式中， E[·]表示数学期望； S (ω)表示零均值平稳随机
r 表 达
过程 X(t) = ∞ e dZ(ω)的双边功率谱密度（PSD）。
iωt
−∞
于是，非平稳随机过程 X(t)的双边演变功率谱密
考虑到 W X (a m ,b)是一个关于连续时间 b 的非平
度（evolutionary power spectrum density，EPSD）可定义
稳随机过程，根据文献 [21]，其源谱表达式如下：
为 [19-20] ：
√
1 (a m )
K ∑
2
S X (ω, t) = |A(ω,t)| S (ω) （10） W X (a m ,b) ≈ S W (ω k ,b)∆ω×
π
k=1
类似式（1），在给定的尺度因子 a m 下，非平稳随 [ ]
R (a m ) cos(ω k b)+ I (a m ) sin(ω k b) （19）
机过程 X(t)的离散小波变换为： k k
( ) 式 中， K 为 频 率 总 项 数 ； Δω 为 频 率 间 隔 ； ω k =(k–
1 w ∞ t −b { }
W X (a m ,b) = √ X(t)ϕ ∗ dt （11） 0.5)Δω； R (a m ) ,I (a m ) 为一组标准的正交随机变量集，满
a m −∞ a m k k
足如下正交性条件：
将式（8）代入式（11）可得：
[ ] [ ]
 (a m ) (a m )
[ ( ) ] E R = E I = 0
1 w ∞ w ∞ t −b  k k


iωt
W X (a m ,b) = √ A(ω,t)ϕ ∗ e dt dZ(ω)  [ (a m ) (a j ) ] （20）


a m −∞ −∞ a m E R k I l = 0


（12）  [ (a j ) ] [ (a m ) (a j ) ]


E R (a m ) R l = E I k I l = δ kl δ mj

k
式（ 12） 中 ， 在 时 刻 b附 近 ， 由 于 小 波 母 函 数
j
( ) 其中，对于 δ kl ，当 k=l 时，δ kl =1；当 k≠l 时，δ kl =0。δ m 的
t −b
ϕ 的时间局部化特性，与小波母函数的时间分 含义与之相同。
a m
辨率相比， A(ω,t)的变化率更慢，其值可近似地取为 在本文中，仅讨论具有二维随机向量 Θ = (Θ 1 ,Θ 2 )
A(ω,b)。于是，式（12）变为： 的随机正交函数形式，即
 √
[ ( ) ] (a j )
′
1 w ∞ w ∞ t −b iωt R l = 2sin( j ×Θ 1 +l×Θ 2 )


W X (a m ,b) ≈ √ A(ω,b) ϕ ∗ e dt dZ(ω)  (a j ) √ ;

′
a m −∞ −∞ a m  I l = 2cos( j ×Θ 1 +l×Θ 2 )
（13）
′
j = 1,2,··· , M；l = 1,2,··· ,K （21）
t −b
进一步，令 τ = ，并利用式（3），则可将式（13） 式中， j 表示尺度为 a j 时 j的序号； M表示尺度总数。
′
a m
写为： 基本随机变量 Θ 1 和 Θ 2 相互独立，且在区间 (0 , 2π)上