Page 88 - 《振动工程学报》2026年第2期

404 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

合理性 [2-3] 。目前，地震动随机过程模拟的概率方法 震动模拟的小波分析方法，目前研究仍存在如下问
主 要 包 括 谱 表 示 方 法（ spectral representation method， 题：如何针对非平稳地震动过程的小波系数进行处
SRM） 、 本 征 正 交 分 解 方 法 （ proper orthogonal 理尚无统一方法；针对不同小波基的离散方式和尺
decomposition，POD）、线性滤波器法 [4-5] 、小波分析方 度范围，并没有合理、精确的确定方案；如何在随机
法 [6-10] 和混合法等。其中，谱表示和本征正交分解方 地震动模拟中突出小波方法的时频分析特性仍需深
法为地震动、脉动风速等工程随机动力灾害作用人 入研究。
工模拟最常用的方法。然而，由于傅里叶变换属于 基于上述研究背景，首先，推导出非平稳随机过
频域分析方法，无法提供任何局部时间段上的频率 程的小波系数仍是一个非平稳过程；然后，通过小波
信息 [11] ，因此其在模拟地震动的非平稳特性时有一 系数的源谱表达以及基于随机正交函数的降维方
定局限性，即无法从方法的源头上精确体现地震动 法，实现了非平稳地震动过程的降维模拟；进一步，
的强非平稳特性。小波分析方法具有时频分析特 探讨同一种小波基的不同离散方式以及不同小波基
性，可以弥补上述频域分析方法的不足，能够更加精 的模拟效果，给出了小波基的离散方式与尺度范围
细地刻画地震动的非平稳特性，获得更加精确的模 取值的最优方案。值得指出的是，通过降维方法得
拟效果，因此近年来受到了广泛关注。 到的所有代表性样本均具有赋得概率，且代表性样
对于非平稳地震动过程模拟的小波领域，国内 本集合可构成一个完备的概率集，这为结合概率密
外 学 者 进 行 了 一 系 列 研 究 并 取 得 了 较 多 成 果 。 度演化理论进行复杂工程结构的精细化抗震分析提
IYAMA 等 [7] 应用小波变换研究了小波系数与能量 供了依据。

输入的关系，提出了小波变换的能量准则，对小波系
数进行逆变换得到地震动时程。MUKHERJEE 等 [12] 1 确 定 性 函 数 的 小 波 变 换
分别以傅里叶谱和反应谱为目标谱，利用离散小波
变换将历史记录分解到各个独立的频带上，得到修 对 于 任 意 一 个 具 有 有 限 能 量 的 函 数 x(t)， 即
r ∞ 2
正的时程，较好地保留了实测地震记录的非平稳特 −∞ |x(t)| dt < ∞，其连续小波变换为 [11] ：
w ∞
⟨
⟩
性。SUÁREZ 等 [13] 以反应谱作为目标谱，利用小波 W x (a,b) = x(t),ψ a,b (t) = x(t)ψ (t)dt =
∗
a,b
−∞
变换对实测强震记录进行分析，借助各频率点上的 1 w ∞ ( t −b )
反应谱值对小波系数分别进行迭代修正，得到修正 √ a −∞ x(t)ϕ ∗ a dt （1）
的地震动时程。SPANOS 等 [9] 利用协和小波和广义 式中， W x (a,b)为小波系数； a为正的尺度因子； b为时
( )
协和小波，得到了非平稳随机过程功率谱估计。曹 1 t −b
间因子； ψ a,b (t) = √ ϕ 为小波基函数，可由小波母
晖等 [14] 推导了小波系数与演变功率谱的关系，对实 a a
函数 ϕ(t)经伸缩、平移得到；上标“ ∗”表示取复共轭。
测地震记录的时变功率谱进行估计，再通过小波逆
一般地，假定小波母函数 ϕ(t)也是一个有限能量
变换生成地震波。全伟等 [15] 将规范反应谱推广到三
[9]
的函数，即满足如下条件 ：
维相关设计反应谱，再利用小波变换将已有的三维
w 2
∞ |Φ(ω)|
地震动时程分解为一系列不同的频段分量，重构地 C ϕ = dω < ∞ （2）
−∞ |ω|
震动时程。白泉等 [16] 分析各个频带的小波系数与功
式中， ω表示圆频率； Φ(ω)表示 ϕ(t)的傅里叶变换，即：
率谱密度的数学关系，通过小波逆变换模拟了具有 w
∞
Φ(ω) = ϕ(t) e −iωt dt （3）
强度-频率非平稳性的地震加速度过程。赵凤新等 [17] −∞
在时域内提出了一种叠加窄带时程的方法，用于提 式中， i为虚数单位。
高人造地震动时程对目标反应谱的拟合精度。 在式（2）的条件下，利用小波系数 W x (a,b)，可将
虽然上述方法在模拟地震动方面取得了一定进 函数 x(t)重构为如下表达式 [9, 11] ：
展，但这些方法均属于传统的 Monte Carlo 方法，至今 2 w w ∞ 1 ( t −b )
∞
x(t) = √ W x (a,b) ϕ da db （4）
仍面临着两个问题 [18] ：其一，为保证模拟精度，通常 C ϕ 0 −∞ a 2 a a
需要数以万计的随机变量，使得随机变量的数量（随 在数值计算中，一般采用离散小波变换。为此，
机度）巨大；其二，Monte Carlo 模拟的随机抽样方法 假定尺度因子和时间因子分别如下：
导致所生成的样本不具有赋得概率，且样本集合的 a m = σ ，b n = (n−1)∆b （5）
m
概率信息不完备，因而使得从激励随机源到结构动 式中，m、n 表示将 a、b 离散之后计算具体 a 1 ,a 2 ,…以
力响应的概率信息的传递不完备，无法进行概率密 及 b 1 ，b 2 ,…的值；尺度参数 σ和时间步长 ∆b均为常数。
[9]
度层面上的精细化地震动反应分析。此外，对于地 进一步得到 ：