Page 83 - 《振动工程学报》2026年第2期

0.025
加速度功率谱密度 −3 · 0.030
0.015
0.010
0.005
100
频率 · −1
第 2 期 韩仁杰，等：工程随机地震动的分数阶功率谱密度模型 399
加速度功率谱密度
β(iω) α
H c (ω) = α （19） 7
2
−ω +β(iω) 6 K-T
且 5 RF
[ ( απ ) ( απ )]
α
α
(iω) = ω cos +isin , ω ⩾ 0 （20） 4
2 2 急动度功率谱密度 / (m 2 ·s −5 ) 3
基岩处高通滤波器的传递函数为： 2
(iω) 3
H r (ω) = （21） 1
3
(iω) +ω 3
c 0
0 50 100 150 200
则 ¨ a g (t)的功率谱密度为：
−1
频率 / (rad·s )
2
S RF (ω) =S 0 ·|H c (ω)· H r (ω)| = (b) 急动度功率谱密度
a
(b) Jerk power spectral density
β 2 ω 6
S 0 · ( απ ) · 6 6 （22） 图 5 K-T 谱模型与 RF 谱模型对比
2
ω 4−2α +β +2βω 2−α cos ω +ω c
2 Fig. 5 Comparison between K-T spectrum model and RF
式 (22) 即 为 所 提 分 数 阶 功 率 谱 密 度 （ refined spectrum model

fractional power spectral density, RF） 模 型 。 该 模 型 对 表 1 K-T 模型与 RF 模型的取用参数
应的急动度功率谱为： Tab. 1 Parameters of K-T model and RF model

2
S RF (ω) = ω S RF (ω) = 模型 S 0 / ( ω g / ) ξ g ( ω c / ) ( β/ ) α
a
j
2
−3
(m ·s ) rad·s −1 rad·s −1 s α−2
β 2 ω 6
S 0 · ( απ ) · 6 6 （23） K-T谱 0.01 13 0.4 — — —
ω 2−2α +β ω +2βω cos ω +ω c RF谱 0.01 — — 2 80 0.4
−2
2
−α
2
由于 0 < α < 1，急动度功率谱密度收敛于零。且
参数）谱表达生成的地震动时程如图 6 所示。图 6
当 α < 0.5时，加速度功率谱随 ω的衰减速度快于 ω ，
−3
中， 当 ω u = 80 rad/s 时 ， v a = 5.5 s ； 当 ω u = 5000 rad/s
−1
急动度能量有界。
−1
时， v a = 6.9 s 。可以看出，上限截止频率的增大并
式 (22) 中提出的模型与传统功率谱密度模型采
不会显著改变 RF 模型谱表达的结果，这与图 3 的结
用低通滤波器修正急动度能量的方式不同，采用了
果明显不同，说明 RF 模型对急动度的修正解决了这
更有物理意义的分数阶滤波器修正了急动度能量。
且与同样采用分数阶滤波器的 ALOTTA 等 [12] 的模 1.0
型相比，本文所提模型舍弃弹簧元件，仅使用一个分
0.5
数阶黏壶的滤波器，能达到相同甚至更好的效果，且
减少了 1 个模型参数，具有更简单的形式。
a 0
RF 模型与 K-T 谱模型的加速度、急动度功率谱
密度对比如图 5 所示。图中各模型参数见表 1。图 5 −0.5
表明，RF 模型可以在保证与 K-T 模型加速度功率谱
−1.0
密度基本一致的情况下，大大修正 K-T 模型急动度 0 5 10 15 20
功率谱密度的能量问题。不仅如此，由于 RF 谱同时 t / s
(a) ω u =80 rad/s
修正了低频段的频率，所以与其对应的速度、位移
谱在零频处也不存在奇异点现象。 1.0
设置不同上限截止频率，由 RF 模型（采用表 1
0.5
0.030 K-T a 0
加速度功率谱密度 / (m 2 ·s −3 ) 0.020 −0.5 0 5 10 15 20
0.025
RF
0.015
−1.0
0.010
0.005
t / s
0
0 20 40 60 80 100 (b) ω u =5000 rad/s
−1
频率 / (rad·s ) 图 6 不同上限截止频率 RF 模型模拟的地震动时程
(a) 加速度功率谱密度 Fig. 6 Time histories of ground motion simulated by RF models
(a) Acceleration power spectral density
with different upper limit cutoff frequencies
−5 )
·
5
急动度功率谱密度 3 1

50 100 150
频率 · −1
急动度功率谱密度