Page 81 - 《振动工程学报》2026年第2期

第 2 期 韩仁杰，等：工程随机地震动的分数阶功率谱密度模型 397

（2）K-T 谱生成的加速度导数过程（急动度）能量 1.2 ×10 −3
无界。 1.0 真实地震动
事实上，上述两条缺陷可以总结为一条，并作为 H-Z谱
判断功率谱模型是否合理的标准：功率谱模型生成 0.8
的加速度及其积分（速度、位移）与导数（急动度）过 加速度功率谱密度 / (m 2 ·s −3 ) 0.6
程均应能量有界。K-T 谱仅满足加速度过程能量有 0.4
界。速度、位移谱在零频存在奇异点正是速度、位 0.2
移能量无界的原因，因此修正零频处的能量便可满 0 0 10 20 30 40 50 60
−1
足这一点。然而，要使急动度能量有界，就要求 S a (ω) 频率 / (rad·s )
(a) 加速度功率谱密度
随 ω的 衰 减 至 少 要 比 ω 快 （ K-T 谱 仅 相 当 于 ω ） 。 (a) Acceleration power spectral density
−2
−3
对加速度积分与导数过程的修正，可以分别理解为 0.25
急动度功率谱密度 / (m 2 ·s −5 )
对低频与高频能量的修正。 0.20 真实地震动
H-Z谱

1.2 Kanai-Tajimi 谱的低频能量修正 0.15
零 频 率 处 的 能 量 不 为 零， 是 K-T 谱 的 明 显 缺 0.10
陷。常用修正方法为，在 K-T 滤波器基础上再添加 0.05
一个高通滤波器，如克拉夫-彭津模型 、胡聿贤-周
[5]
锡元（H-Z）模型 [2] 等。 0 0 20 40 60 80 100
−1
频率 / (rad·s )
以 H-Z 谱为例，其功率谱密度为：
(b) 急动度功率谱密度
4
ω +4ξ ω ω 2 ω 2n (b) Jerk power spectral density
2
2
g
g
g
S H-Z (ω) =S 0 · ( ) 2 · 2n 2n =
a
ω −ω 2 +4ξ ω ω 2 ω +ω c 图 2 真实地震动功率谱密度与 H-Z 模型对比
2
2
2
g
g
g
ω 2n Fig. 2 Comparison of power spectral density between real
S K-T (ω)· （5）
a 2n 2n ground motion and H-Z model
ω +ω c
w ∞
该模型可以理解为，基岩处的白噪声先通过高 λ k = ω S a (ω)dω； k = 0,1,2,··· （7）
k
0
通滤波器，再通过 K-T 滤波器。其中 ω c 表示低频截 功率谱的 0 阶与 2 阶谱矩，决定了随机过程的平
止频率，决定低频修正范围。H-Z 谱对 K-T 谱的改 均越零率，公式为 [12] ：
进，可以将加速度谱零频处的能量修正为零，且当指 1 √ λ 2
数 n = 3时，可以保证速度、位移谱零频处均为零。 v a = π λ 0 （8）

地震加速度过程的方差满足公式：
1.3 Kanai-Tajimi 谱的高频能量修正 w ∞
2
σ = S a (ω)dω （9）
a
K-T 谱高频能量的缺陷体现在其生成的急动度 结合式 (6)~(9)，可知 0 0 阶与 2 阶谱矩实际为加速
过程能量无界。急动度虽未像加速度、速度、位移
度与急动度的方差，则平均越零率的公式可以简化
一样引起广泛关注，但已有研究表明，急动度同样蕴
为 [12] ：
[6]
含重要的地震特性信息 。K-T 模型的急动度功率 1 σ j
v a = · （10）
谱随频率增加，趋于非零常数，而实际地震动的急动 π σ a
度功率一定是收敛于零的。图 2 为低频能量修正后 式中， σ a 和 σ j 分别为地震动加速度与急动度的标准
的 K-T（即 H-Z 谱）与真实地震动在加速度及急动度 差。由于 H-Z 谱加速度能量有界而急动度能量无
功率谱密度方面的对比结果。 界，则式 (10) 中 v a 的解为无穷，而实际地震动过程的
图 2 中真实地震动的加速度功率谱密度通过周 平稳越零率不可能无穷。
期图方法估计得到，急动度功率谱由下式得到： 针对以上问题，一般的处理方式为，假定地震动
2
S j (ω) = ω S a (ω) （6） 过程能量分布在有限带宽频率上，人为设置上限截
可以看出，H-Z 谱模型虽然可以很好地拟合真实 止频率使越零率有限，但这样会造成高频能量缺失
地震动的加速度功率谱密度，但急动度功率谱密度 或过大。因此，更合理的做法是通过修正功率谱密
却与实际地震动严重不符。造成这种现象的原因 度模型使其急动度能量有界。图 3 为同一 K-T 谱模
是，加速度看似拟合良好，但实际上模型与真实地震 型上限截止频率设置不同时，使用谱表达方法 [19] 生
动的高阶谱矩并不对应。 成的地震动时程。具体步骤如下：
随机过程的 k阶谱矩定义为： (1) 确定时间步长 ∆t = 0.01 s，时间点数取 N ps =2000；