Page 80 - 《振动工程学报》2026年第2期

396 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

度、速度和位移谱均满足条件（1）的要求，则由广义 鉴于此，本文通过将 K-T 滤波器替换为仅含分
积分收敛准则可知其能量有界，但对于急动度却并 数阶黏壶的分数阶滤波器，提出一种可用于描述工
非如此。因此，条件（2）实际为对急动度，也是对高 程随机地震动的分数阶功率谱密度模型。分数阶的
频能量的要求。 引入使该功率谱模型满足急动度能量有界的条件，
在地震工程中，加速度、速度和位移是广泛研究 结合 H-Z 模型高通滤波方法，以满足零频能量为零
的基本参量，然而，急动度（又称加加速度）在地震工 的条件。与 ALOTTA 等 [12] 的分数阶功率谱模型相
程研究中尚未引起足够重视，这使得大多地震功率 比，本文模型舍弃了弹簧元件，这样不仅不会影响模
谱模型的建立忽略了对急动度能量有界的要求。事 型与真实地震动的拟合效果，还可以减少参数，模型
实上，急动度蕴含着丰富的地震特性信息。TONG 形式更加简单明了。更为重要的是，该功率谱模型
等 [7] 指出急动度可以作为筛选地震动的能量指标， 参数可以与规范中建议的场地参数建立起联系，从
对集集地震动数据的研究证明，近断层区域地震动 而可以直接与谱表示方法 [19] 结合，生成符合要求的
[6]
急动度要明显大于远场地震区域 。何浩祥等 [8] 指 人工地震动。通过与真实地震动功率谱拟合结果对
出，关于急动度的研究可以加强对地震动非平稳特 比，验证了本文模型的适用性与优势。

性的认知，且急动度对中短周期建筑结构有明显影
响。地震动急动度反应谱的概念最早由何浩祥等 [8] 1 经 典 功 率 谱 密 度 模 型
提出，并逐渐引起工程界关注，相关研究可见文献 [9]。

K-T 模型的急动度功率谱随频率增加，趋于非零 1.1 Kanai-Tajimi 谱
常数，所以其生成的急动度过程能量无界，大多基于

K-T 谱的改进模型均存在这一缺陷。随着对地震工 K-T 谱是应用广泛的功率谱密度模型，它将土层
程中急动度重要性的认识增加，学者们逐渐意识到 简化为单自由度质点与 Kelvin-Voigt 模型串联的滤
修正这一问题的必要性。已有功率谱模型大多以 K-T 波器，如图 1 所示。图中， m、c和k分别为滤波器的
模型为基础，通过串联低通滤波器削弱高频能量，从 质量、阻尼和刚度， f (t)为滤波器受到的外力作用：
而使急动度能量有界，如欧进萍-牛荻涛模型 [10] 、杜 f (t) = −m ¨w(t) （1）
修力模型 、李英民模型 [1] 和李鸿晶模型 [11] 等。这 式中， ¨ w(t)为基岩白噪声加速度。
[4]
种方式虽然可以修正高频能量，但由于采用附加滤
c
波器的形式，所以并未从本质上克服 K-T 滤波器的 m
f(t)
缺陷。另一种改进方式是采用分数阶滤波器代替 K-T k
滤波器，建立分数阶功率谱模型 [12] 。
分数阶导数的概念已有 300 多年历史，但直到 图 1 K-T 谱模型土层滤波器
Fig. 1 K-T model filter
1946 年 BOSWORTH 发现它在描述黏弹性材料力学
性能上的优势，分数阶导数模型才开始广泛应用于 地震地面加速度为基岩处白噪声经过该滤波器
工程界 [13] 。目前，越来越多学者开始使用分数阶导 的绝对加速度，运动方程为：
数对黏弹性材料进行建模 [14] 。地震动研究中，场地 2
¨ x g (t)+2ξ g ω g ˙x g (t)+ω x g (t) = − ¨w(t) （2）
g
土同样具有黏弹性，因此场地与地震动的分数阶模
2
¨ a g (t) = ¨x g (t)+ ¨w(t) = −2ξ g ω g ˙x g (t)−ω x g (t) （3）
型也开始受到关注 [15-17] 。结合分数阶与土层滤波器， g
式中， ¨ x g (t)、˙x g (t)、x g (t)分别为质点的加速度、速度和
一个很自然的想法是使用分数阶滤波器代替 Kelvin- √
(
位移； ω g = k/m为滤波器的自振频率； ξ g = c/ 2mω g )
Vogit 滤 波 器 ， 可 以 更 好 地 描 述 土 层 黏 弹 性 特 征 。
为滤波器的阻尼比； ¨ a g (t)为地震地面加速度。设基
ALOTTA 等 [12] 基于这一思想提出了分数阶功率谱密
岩加速度白噪声的功率谱密度为 S 0 ，则 ¨ a g (t)的功率
度模型，并惊喜地发现，分数阶滤波器的引入可以很
谱密度为：
好地修正 K-T 谱急动度能量无界的问题。通过土样
2
4
2
ω +4ξ ω ω 2
蠕变试验数据确定了分数阶功率谱模型的参数，并 S K-T (ω) = ( g ) 2 g g ·S 0 （4）
a
2
2
2
通过与 K-T 谱的对比证明了该模型的合理性。但遗 ω −ω 2 +4ξ ω ω 2
g
g
g
憾的是，不同场地的土样试验数据十分有限，无法得 式 (4) 即为 Kanai-Tajimi 模型，该模型由于具有
到能直接应用于地震工程研究的模型参数。另一方 明确的物理意义，在工程界得到了广泛应用。然而，
面，分数阶功率谱模型与建筑抗震设计规范 [18] 中建 该模型存在两点明显缺陷：
议的场地参数关系不明确，因此该功率谱模型很难 （1） K-T 谱在零频率处的能量不为零，使其对应
应用到实际抗震研究中。 的速度、位移功率谱密度在零频率处存在奇异点；