Page 82 - 《振动工程学报》2026年第2期

398 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

(2) 频域步长 ∆ω = 0.1 rad/s，上限截止频率分别 的 形 式， 所 以 并 未 从 本 质 上 弥 补 K-T 滤 波 器 的 缺
采用 ω u = 80 rad/s 和 ω u = 5000 rad/s； 陷。本文所提分数阶功率谱模型，不再以 K-T 滤波
(3) 使用三角级数法合成人工地震动。 器为基础，而是将其替换为分数阶滤波系统，从另一
n
√ ∑ √ 个角度修正了这一问题。
¨ x g (t) = 2 S a (ω i )∆ωcos(ω i t +ϕ i ) （11）
i=1
式中， n为频率点数，由上限截止频率和频域步长决 2 改 进 分 数 阶 功 率 谱 密 度 模 型
定，即 n = ω u /∆ω−1；相位 ϕ为 [0,2π]上均匀分布的随
机变量。
2.1 分数阶滤波器
1.0

Caputo 定义的分数阶导数 [20] 为：
0.5 1 w t
−α
α
D x(t) = (t −τ) ˙x(τ)dτ, 0 ⩽ α ⩽ 1 （12）
Γ(1−α) 0
a 0
式中， α为分数阶导数阶数； Γ(·)表示 Gamma 函数。
分数阶导数的 Fourier 变换满足如下性质：
−0.5
α
α
F [D x(t)] = (iω) X (ω) （13）
−1.0 式中， F [·]表示 Fourier 变换； X (ω)为 x(t)的 Fourier 变
0 5 10 15 20
t / s 换。式 (13) 对于求解分数阶系统的传递函数具有重
(a) ω u =80 rad/s 要意义。
1.0
分数阶导数已被证明能更好地描述黏弹性材料
0.5 的力学性能 [14] 。地震工程研究中，可以将上覆土层
看作一个黏弹性单自由度系统 [16] ，因此文中提出使
a 0 用 分 数 阶 系 统 代 替图 1 所 示 K-T 谱 模 型 中 的 滤 波
器，如图 4 所示。该滤波器的运动方程写为：
−0.5
α
m¨x+c α D x = f (t) （14）
−1.0
0 5 10 15 20
t / s c α , α m
(b) ω u =5000 rad/s f(t)

图 3 不同上限截止频率 K-T 模型生成的地震动时程 (模型
3
参数： S 0 = 0.01 m /s ,ω g = 10 rad/s,ξ g = 0.6,ω c = 2 rad/s) 图 4 分数阶滤波器
2
Fig. 3 Ground motion time histories generated by K-T models with Fig. 4 Fractional filter

different upper limit cutoff frequencies (model parameters：
3
S 0 = 0.01 m /s ,ω g = 10 rad/s,ξ g = 0.6,ω c = 2 rad/s) 2.2 改进分数阶功率谱密度公式
2

图 3 中纵坐标 。可以看出，上限截
为同时修正 K-T 谱低频段能量的缺陷，图 4 中滤
a = ¨a g /max¨a g
止频率设置不同，高频能量部分会明显不同，从而显 波器的作用力设为 f (t) = −m ¨p(t) ¨p(t)表示的基岩地
，
著影响越零率：图 3(a) 越零率 v a = 6.5 s ，图 3(b) 越零
−1
震动加速度不再为白噪声，而是经过高通滤波器过
−1
率 v a = 50 s 。
滤后的色噪声，即
事实上，功率谱在极高频率区间上的取值对一 ...
¨ p(t) = y (t) （15）
般工程结构或工程系统的影响不大，工程应用时通 ...
3
y (t)+ω y(t) = ¨w(t) （16）
常采取人为确定上限截止频率的方式，消除了理论 c
式 (15) 和 (16) 为 H-Z 谱 使 用 的 高 通 滤 波 器 ， 用
上不真实的高频能量。但即使如此，在地震动功率
于削弱基岩白噪声的低频能量。将该高通滤波器与
谱密度模型中修正对急动度的描述，会使模型更加
式 (14) 所示的分数阶滤波器结合，则地震地面加速
合理，由此生成的地震动过程更符合真实记录的地
度可以写为：
震动。已有修正方法大多以 K-T 谱模型为基础，通
α
过串联低通滤波器削弱高频能量，从而使急动度能 ¨ a g (t) = ¨x g (t)+ ¨p(t) = −βD x g (t) （17）
α
[4]
量有界，如欧进萍-牛荻涛模型 [10] 、杜修力模型 、李 ¨ x g (t)+βD x g (t) = − ¨p(t) （18）
英民模型 、李鸿晶模型 [11] 等。这种方法虽然可以 式中， β = c α /m。由分数阶导数的 Fourier 变换（式 (13)），
[1]
达到修正高频能量的目的，但由于采用附加滤波器 分数阶滤波器的传递函数写为：