Page 84 - 《振动工程学报》2026年第2期

400 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

一问题。分数阶阶数 α是影响急动度收敛速度的主 波形式，即
[
要因素，不同分数阶导数阶数情况下，RF 模型急动 x(t) = A(t)cos ω eq (A)t +ϕ(t) ] （25）
度功率谱密度的图像如图 7 所示 α ( 取 0.1~0.8，其他 [ ]
˙ x(t) = −ω eq (A)A(t)sin ω eq (A)t +ϕ(t) （26）
模型参数与表 1 相同)。可以看出， α越小，急动度收
式中， A(t)和ϕ(t)分别为伪谐波响应的幅值与相位，
敛越快。
50 α=0.1 且均相对于 x(t)为慢变量。 [22]
急动度功率谱密度 / (m 2 ·s −5 ) 30 α=0.3 β eq = − πAω(A) 2π w D (Acosψ)cosψdψ （27）
使式
(18) 均 方 误 差 最 小 ， 则 由 文 献
(24) 与
α=0.2
40
得等效整数阶参数为：
α=0.4
β
2π
α=0.5
α
D (Acosψ)sinψdψ
α=0.6
0
α=0.7
20
w
β
α=0.8
α
2
（28）
ω =
eq
πA
10
0
0
(27) 和
式
(28) 可进一步简化为：
0 20 40 60 80 100 式中， ψ = ω eq t +ϕ(t)。
−1
频率 / (rad·s ) β ( απ )

β eq = sin （29）
图 7 α对急动度功率谱密度的影响 ω 1−α 2
eq
( )
Fig. 7 The influence of α on the jerk power spectral density 2 α απ （30）
ω = βω cos
eq
eq
2
合理选择功率谱参数有利于更好地描述地震动 令 β eq = 2ξ g ω g ，ω eq = ω g ， 代 入 式 (29) 和 (30) 中 ，
的谱特性，并模拟符合需求的地震动时程，具体参数 可得 RF 模型中 α 和 β 的建议值，见表 3。
选取方法在下一节介绍。

表 3 RF 模型参数建议值
Tab. 3 Recommended values for RF model parameters
3 模 型 参 数 确 定
(
β/ s α−2 )
场地类别 α
第1组 第2组 第3组

3.1 规范对应的谱参数
Ⅰ 0 222 161 124 0.57
158 122 98 0.58
分数阶滤波器的参数原则上可以通过土层试样 Ⅰ 1
Ⅱ 96 80 68 0.61
的蠕变试验获得 [12,15] 。然而，由于不同类别的土层试 Ⅲ 68 51 41 0.64
验数据有限，无法得到所有类别土层的参数。因此， Ⅳ 41 34 27 0.68

本文提出一种可与建筑抗震设计规范 [18] 结合的参数
谱强度 S 0 用于描述基岩处地震动的强度，可取 [11] ：
确定方法。
2
K-T 模型参数的相关研究 [21] 给出了根据抗震规 S 0 = a /802.3 （31）
m
范中不同地震分组与场地类别的建议值，如表 2 所 式中， a m 为平均峰值地面加速度。低频截止频率可取：
示。若认为整数阶 K-T 系统实际为分数阶系统的一 ω c = 0.1×ω g （32）
种等效近似，便可以根据 K-T 模型参数确定对应的 以Ⅱ 类场地，地震分组 2 组， a m = 2 m/s 为例， K-T
2
分数阶功率谱模型参数。 模型与 RF 模型的加速度功率谱密度与其对应的急

动度功率谱密度对比如图 8 所示。从图 8(a) 中可以
表 2 场地自振频率与阻尼比建议值
看出，RF 模型与 K-T 模型的加速度功率谱形状基本
Tab. 2 Recommended values of field natural frequency and
相似，但修正了零频率处不为零的问题；图 8(b) 明显
damping ratio

−1
ω g /(rad·s ) ×10 −3
场地类别 ξ g 8
第1组 第2组 第3组 K-T
31.42 25.13 20.94 0.62 RF
Ⅰ 0 6
25.13 20.94 17.95 0.65
Ⅰ 1
Ⅱ 17.95 15.71 13.96 0.72 加速度功率谱密度 / (m 2 ·s −3 ) 4
Ⅲ 13.96 11.42 9.67 0.80
Ⅳ 9.67 8.38 6.98 0.90 2

设分数阶系统（式 (18)）的等效整数阶系统为： 0
2
¨ x(t)+β eq ˙x(t)+ω x(t) = − ¨p(t) （24） 0 50 100 150
eq
−1
频率 / (rad·s )
式中， β eq 、ω eq 为等效阻尼系数与等效自振频率。若
(a) 加速度功率谱密度
式 (24) 的阻尼系数很小，则其响应可以假定为伪谐 (a) Acceleration power spectral density
3.5
−5 )
· 3.0
急动度功率谱密度 1.5
1.0
100 150
频率 · −1
急动度功率谱密度