Page 91 - 《振动工程学报》2026年第2期

第 2 期 刘章军，等：随机地震动过程的小波降维表达 407

1.0 同离散方式下的影响情况，综合已有研究，选取了
0.8
√
0.5 0.6 σ = 2（2-基）， σ = √ 2（1.4142-基）， σ = 2（1.1892-基）
4
0.4
0 三种离散方式进行比较分析，以确定最合理的选取
0.2
−0.5
0 方式。
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −12 −8 −4 0 4 8 12
进一步，为确定 m的合理范围，在选取参数的过
(a) MLP时域 (b) MLP频域
(a) MLP time-domain (b) MLP frequency-domain 程中发现，随着尺度因子从小到大，小波系数波形

由细密变为疏缓，即小尺度的小波系数主要包含高
图 3 MLP 小波的时、频域形状图
频成分，波形起伏剧烈，而大尺度的小波系数主要
Fig. 3 Time-domain and frequency-domain shape diagrams of
MLP wavelet 包含低频成分， m越大，越接近谐波波形。此外，随
 1 着尺度的增大（频率的减小），小波系数的幅值也逐

 ，π ⩽ |ω| ⩽ σπ
 √
 （30b）
2(σ−1)π 渐增大，到达最大值后开始减小，说明小波系数的幅
Φ(ω) = 


 0，其他
值两头小，中间大，即能量集中在一定范围内。根据
由图 1~3 可知，三种小波基在时域与频域上均具
该 规 律 即 可 确 定 三 种 离 散 方 式下 MH 小 波 基 和
有较好的局部化特性和对称性，且频域中的带宽较
MO 小波基 m的精确范围，如表 1 所示。以 MH 小波
窄，具有较高的频率分辨率，这为地震动的模拟创造
基的 m = −9, +5为例，根据式（17）和（19），计算得到
了条件。然而，三种小波基在细部刻画上具有明显
144 条代表性样本在 5 个尺度下的小波系数，如图 4
差异。MO 小波基与 MLP 小波基在时域上的幅值接
所示，其幅值从 m = −9开始增大，到 m = −3后逐渐变
近，均大于 MH 小波基。在频域上的幅值，则从 MH
小，表明地震动的小波系数两头小中间大，能量集中
小 波 基、 MO 小 波 基 到 MLP 小 波 基 依 次 减 小 。 此
在 m = −9到 m = 5之间，即选取的 m值符合条件。
外，三种小波基在时域上仅有 MLP 小波基非紧支，

而在频域上均具有紧支性，但 MLP 小波基的左右紧 表 1 不同离散方式下 m 的下限和上限建议取值
支点之差是确定的。由此可见，采用不同的小波基 Tab. 1 Suggested values for the lower and upper limits of m
进行地震动模拟将会存在一定差异。 under different discretization methods

m的下限和上限建议取值
5 数 值 算 例 及 分 析 离散方式 MH小波基 MO小波基
σ = 2 m = −9, 5 m = −6, 7
假设地震动发生在Ⅱ 类场地，模拟非平稳地震动 σ = √ 2 m = −18, 10 m = −12, 11
√
随机过程所采用的计算参数取值如下：频率截断项 σ = 2 m = −38, 22 m = −17, 13
4
数 K = 1500； 频 率 步 长 ∆ω = 0.1 rad/s； 截 断 频 率 ω u =

150 rad/s； 地 震 动 持 时 T = 30 s； 时 间 步 长 ∆t = 0.02 s；
地 震 动 峰 值 加 速 度 A max = 200 cm/s ； 峰 值 因 子 r = 0.08 MH小波系数
2
2.88；场地土参数： ω g = 15.71 rad/s，ξ g = 0.72。 0.04
此处，地震动时程已按时间间隔 ∆t进行了采样离 W X (a m , b) / (cm·s −2 ) 0
散。同时，由于时间因子 b需保持连续变化，因此，按 −0.04
照地震动的时间间隔对 b进行离散，即 ∆b = ∆t = 0.02 s， −0.08
100 30
从而使得小波谱与地震动时程在时间上形成点对点 50 10 20
的对应关系。 代表性样本数 0 0 b / s

(a) m=−9
5.1 小波基不同离散方式的分析
MH小波系数
为研究不同小波基的最佳离散方式及 m的精确 5.0
范围，选用 MH 小波基和 MO 小波基进行分析，然后 2.5
将规律直接应用于 MLP 小波基。通过对两种小波 W X (a m , b) / (cm·s −2 ) 0
基的小波系数、模拟生成的代表性样本及其二阶统 −2.5
计量特性进行比较分析，可给出两种小波基的最佳 −5.0
100 30
离散方式和 m的合理范围。 50 20
10 b / s
文献 [9] 直接给出了不同小波基的尺度因子 a的 0 0
代表性样本数
离散方式以及 m的范围，为充分探索尺度因子 a在不 (b) m=−6

小波系数
−2
·

−10
−20

代表性样本数
=−3

小波系数
4
−2
·

−2
−4

代表性样本数

−3
小波系数
5.0
−2
· 2.5

−2.5
−5.0

代表性样本数