Page 72 - 《振动工程学报》2026年第2期

388 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

关系服从图 1(c) 所示的弹脆性假定。模型中各微观 出的经验公式计算塑性应变：
( − − ) n p −
弹簧具有相同的弹性模量与变形。为反映混凝土力 ξ D
p
ε p,− = ε e,− （8）
学性能内蕴的随机性，假设微观弹簧的断裂应变为 1− D −
式中， D 表示受压损伤变量； ξ 与 n 为经验系数。文
−
−
−
一随机变量。由此可知，各微观弹簧的断裂应变构 p p
、
−
−
(
成随机场 ∆ x mi ) ，其中， x 表示微观弹簧对应的坐 献 [36] 建议 ξ = 0.39 n = 0.45。
mi
p
±
p
对于多维受力情况，混凝土的弹塑性随机损伤
标，上标“+”和“–”分别表示受拉和受剪损伤机制。
[5]
混凝土的随机损伤演化法则可由微观弹簧的随机断 本构关系为 ： ( )] [ ( )]
[
+
+
−
σ = 1− D ε e,+ σ + 1− D ε e,− σ =
−
[6]
裂反映。损伤变量 D (ε )的具体表达式为 ： eq eq
e,±
±
w 1 ( ( )) p
±
±
D (ε ) = H ε e,± −∆ x mi dx mi （1） (I − D) : E 0 : (ε−ε ) （9）
e,±
0 式中， σ为二阶柯西应力张量； σ 、 σ 分别表示有效
+
−
式中， H (·)为 Heaviside 函数； ε 为弹性应变。
e,±
p
应力张量 σ的正、负分量； ε和 ε 分别为二阶应变张
根据文献 [32-33] 对混凝土微观结构断裂强度的
量和二阶塑性应变张量； I、 D和 E 0 分别为四阶一致
试验研究及断裂应变非负的物理事实，可以合理地
性张量、四阶损伤张量和四阶弹性模量张量。
(
假设 ∆ x mi ) 为均值 µ ∆ ± 、标准差 σ ∆ ± 的对数正态分布
±
塑性应变张量 ε 可通过如下经验公式确定：
p
(
(
均匀随机场。 Z x mi ) = ln∆ x mi ) 则为正态分布均匀 ( ) n p −
±
±
−
( ) ξ D −
p
p
−1
随机场，其均值和标准差分别为 λ 和 ζ 。 ε = H ˙ D − E : σ − （10）
±
±
0
1− D −
(
(
文献 [6,34] 指出， Z x mi ) 的相关函数 ρ Z ± η mi ) 可假 式中， ˙ D 表示损伤变量的变化率。
±
−

设为指数型：
1.3 考虑材料空间变异性的两尺度随机场模型
( ) ( )
η
ρ Z ± η mi = exp −ω mi,± mi （2）

mi
mi
mi
式中， ω mi,± 表示微观相关参数； η = x − x 表示第 i 微-细观随机断裂模型只能描述单一细观单元的
i
j
根与第 j 根微观弹簧的距离。 随机损伤演化，无法描述不同细观单元间客观存在
相应地， Z x mi ) 的相关长度为： 的空间变异性。为此，LI 等 [18] 提出了两尺度随机场
(
±
w
+∞ ( ) 2 模型，以反映不同细观单元间的空间变异性，如图 2
mi
mi
l ± = 2 ρ Z ± η mi dη = （3）
Z ( )
0 ω mi,± 所示。两尺度随机场表示为 ∆ x mi 。各细观单元的
±
注意到，式 (1) 仅能反映混凝土单轴受力时的损 x
随机损伤演化法则变为：
伤演化规律。为将式 (1) 推广至多维受力情况，LI 等 [7] w 1 ( ( ))
±
e,±
±
d (ε ) = H ε e,± −∆ x mi dx mi （11）
x
在连续损伤力学的基础上引入了等效能量应变的概 0
式中，x 表示细观单元的宏观坐标。
念。等效能量应变的具体表达式为：
假设 ± ( mi ) 仍是服从均值为 µ ∆ ± 、标准差为
√ ∆ x σ ∆ ±
x
2Y +
ε e,+ = （4） 的 对 数 正 态 分 布 均 匀 随 机 场 。 相 应 地， Z x mi ) =
(
±
eq
E 0 x
( ( ))
±
ln ∆ x
±
√ ± mi 是服从均值为 λ 、标准差为 ζ 的正态分布
1 Y − x
ε e,− = （5） 均匀随机场。则 Z x mi ) 的协方差函数为：
(
±
eq
(α−1)E 0 b 0 ( ( )) x ( ( ) ( ))
mi
cov Z ± x x mi =E Z ± x x mi Z ± x+η x +η mi −
式中， ε 和 ε 分别表示受拉和受剪等效能量应变；
e,+
e,−
eq eq
( )
± 2
± 2
mi
Y 和 Y 分别表示受拉和受剪损伤能释放率； E 0 为弹 (λ ) = (ζ ) ρ η ,η （12）
+
−

α b 0 为材料常数，
性模量； 、 α ≈ 1.16。式 (4) 和 (5) 中 式中， E(·)表示均值； η = x i − x j 表示第 i 个与第 j 个

的更多细节可参考文献 [7]。 细观单元间的宏观距离； ρ η ,η 表示两尺度随机场
)
(
mi
据此，混凝土多维受力时的损伤演化法则可表 的相关函数，能同时反映微观与宏观尺度的空间相
示为： 关性。
w
( ) 1 ( ( )) 由式 (1) 和 (11) 可知，微观坐标 x 是取值范围为
mi
D ε e,± = H ε e,± −∆ x mi dx mi （6）
±
±
eq 0 eq
[0,1]的无量纲量。因此，鉴于微观距离 η 与宏观距
mi
1.2 混凝土弹塑性随机损伤本构关系 离 η在尺度与量纲上的差异，假设 ρ η ,η 为相关结
(
)
mi
构可分的指数型相关函数 [37] ：
[6]
根据应变等效原理 ，混凝土的一维弹塑性随机 ( ) ( )
mi
η −ω
ρ η ,η =exp −ω mi,± mi ma,± η =
损伤本构关系可表示为：
( )
exp −ω mi,± mi exp(−ω ma,± η) =
η
[ ]
p,±
±
e,±
σ = 1− D (ε ) E 0 (ε −ε ) （7）
±
±
( mi )
式中， σ 表示柯西应力； ε 和 ε 分别为总应变和塑 ρ η ρ(η) （13）
±
p,±
±
性应变。对于单轴受拉的情况，可忽略混凝土的塑 式 中， ω mi,± 和 ω ma,± 分 别 表 示 微 观 和 宏 观 相 关 参 数 ；
(
(
[5]
性变形 ；对于单轴受压的情况，可根据文献 [35] 提 ρ η mi ) 和 ρ(η)分别表示两尺度随机场 Z x mi ) 在微观尺
±
x