Page 73 - 《振动工程学报》2026年第2期

第 2 期 陈 欣，等：同时考虑材料参数与地震动激励随机性的钢筋混凝土结构非线性随机动力响应分析 389

mi
mi
(x ) Δ x 3 (x ) Δ x n (x )
mi
Δ x 1
…
x mi x mi x mi
(x j )
mi
mi
(x i ) … … Δ x 3 … …
Δ x 1
x mi x mi x mi
ε ε ε ε
…
σ σ σ σ
x
O …
x 1 x 2 x 3 x n

图 2 两尺度随机场模型
Fig. 2 Two-scales stochastic field model
(
度和宏观尺度的相关函数。 可以证明， W x mi ) 与 W x mi ) 之间存在如下线性
(
±
±
x
将 Z x mi ) 变换为服从标准正态分布的均匀随机 变换关系：
(
±
x
场 W ± ( x mi ) ： ( ) ( )
x LW ± x mi = W ± x mi （22）
( mi ) x
±
( ) Z x −λ ±
x
W ± x x mi = （14） 关于式（22）的证明详见文献 [18]。式 (22) 建立
ζ ±
上述变换不改变随机场的相关结构，即 W x ± ( x mi ) 的相 了细观单元断裂应变随机场与两尺度随机场间的转
关函数仍为式 (13)。 换关系。在实际应用中，可利用随机谐和函数法 [38] 、
(
±
在实际应用中，两尺度随机场 W x ± ( x mi ) 可离散为 基于随机函数的谱表示方法 [39] 等生成 W x mi ) 的样
如下随机向量场的形式（如图 2 所示）： 本，然后利用式 (22) 获得两尺度随机场样本，再根据
( ) [ ( ) ( ) ( )] T 1.2 节确定混凝土的本构关系，用于后续的非线性随
W ± x x mi = W x 1 ± x mi ,W ± x 2 x mi ,··· ,W ± x n x mi （15）
机响应分析。
式中， x i 表示第 i 个细观单元的宏观坐标。
(
随机向量场 W x mi ) 的互协方差矩阵为：
±
x
( ) 2 地 震 动 激 励 随 机 性 的 量 化
( ) ( )( ( )) T
mi
C W ± η mi = E W x ± x mi W ± x x +η mi （16）

式中， C W ± η mi ) 为 n×n的互协方差矩阵。 2.1 随机傅里叶幅值谱与相位谱
(
利用式 (13)， C W ± η mi ) 的任意一项 C W ± ,ij η mi ) 可表
(
(
文献 [24-25] 利用 Brune 震源模型描述振源的运
示为：
( ) ( ( ) ( )) 动学特性，考虑了传播途径中的阻尼衰减效应和频
C W ± ,i j η mi =E W ± x mi W ± x +η mi =
mi
散效应，并将局部场地视为一个等效单自由度体系，
x i x j
( ) ( )
ρ η mi ρ η ij （17） 以考察场地对地震波的滤波作用。综合上述各因素
从而，式 (16) 可进一步简化为如下矩阵形式： 的影响，文献 [24-25] 建立了工程随机地震动物理模
 
ρ(η 11 ) ρ(η 12 ) ··· ρ(η 1n ) 型的傅里叶幅值谱与相位谱，分别为：
 
 
   
( ) ( )ρ(η 21 ) ρ(η 22 ) ··· ρ(η 2n )  ( ) A 0 ·e −KωR

C W ± η mi =ρ η mi    . . .  = A A 0 ,τ,ξ g ,ω g ,ω,R = ×


 . . .  √
 
 . . .  ( ) 2
 
 
  1
  2
ρ(η n1 ) ρ(η n2 ) ··· ρ(η nn ) ω ω +
τ
( )
ρ η mi H （18） v ( ) 2
u
u
u
u 2
u 1+4ξ ω/ω g
t
g
式中， H为实对称正定矩阵，对 H进行楚列斯基分解得： （23）
[ ] 2
( ) 2 2 ( ) 2
H = LL T （19） 1− ω/ω g +4ξ ω/ω g
g
( )
1
Φ(τ,a,b,c,d,ω,R) = arctan −R×d×
式中， L为下三角矩阵。此外，图 2 中各细观单元的 τω
断裂应变随机场 ∆ x mi ) 可离散为如下随机向量场： ( 1 )
(
±
ln (a+0.5)ω+b+ sin(2cω) （24）
( ) [ ( ) ( ) ( )] T 4c
±
±
±
±
∆ x mi = ∆ x mi ,∆ x mi ,··· ,∆ x mi （20）
1 2 n
式中， A 0 表示反映震源强度的物理参数； τ为 Brune
式中，下标 i 表示第 i 个细观单元。将 ∆ x mi ) 标准化得：
(
±
震源系数； ω表示频率； 为表示介质衰减效应的参
K
( ) [ ( ) ( ) ( )] T
W ± x mi = W ± x mi ,W ± x mi ,··· ,W ± x mi （21） −5
；
1 2 n 数，可依据经验取为 10 s/km ξ g 表示局部场地等效
(
[
]
其中， W ± ( x mi ) = ∆ x mi ) −λ /ζ 。 阻尼比； ω g 为局部场地等效卓越圆频率； R表示震中
±
±
±
i i