Page 74 - 《振动工程学报》2026年第2期

390 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

2
，
a b c d为经验参数，
距； 、 、 、 a = 1.02 b = 4.03×10 rad/s， （2）采用基于 GF 偏差的两步选点法 [40] 在概率空
2
，
c = 1.89 s/rad d = 1.30×10 rad/km [24-25] 。在工程随机 间 Ω Θ 中选择 s 个代表点。同时，确定各代表点相应
地震动物理模型中，参数 A 0 τ ξ g 以及 ω g 被视为基 的赋得概率 P s ：
、 、
本随机变量。 w
P s = p Θ (θ)dθ （29）
文献 [26-27] 对上述模型的傅里叶相位谱进行了 Ω s
改进，本文采用文献 [27] 改进后的模型。 式中， Ω s 表示第 s个代表点对应的代表性区域，满足

∪ Ω i =Ω Θ 且 Ω i ∩Ω j = ϕ(i , j)，其中 Ω i 通过 Voronoi 剖
s
2.2 基于改进的窄带波群叠加方法的地震动合成 i=1
分确定 [41] 。
本文采用改进的窄带波群叠加算法 [24-25] 合成地 （3）基于两尺度随机场模型生成各代表点所对
震动时程样本。算法中，地震动时程样本可表示为： 应的有限元模型的混凝土本构关系。
N ∑ （4）利用工程随机地震动物理模型合成各代表
2
a R (t) = − ω · A i · F i (t)·cos(ω i t +Φ i )∆ω （25）
i 点所对应的地震动时程样本。
i=1
式中， A i 表示第 i 个波群的幅值，由式 (23) 确定； Φ i 表 （5）求解各代表点 θ i 所对应的有限元模型，计算
示第 i 个波群的相位，根据文献 [27] 中的相位谱确 广义速度 ˙ Z (θ i ,t)。
定； △ω表示频率的增量； t表示时间； ω i 为第 i 个波群 （6）利用有限差分法的 TVD 格式 [41] 求解广义概
的频率；N 为波群数； F i (t)表示第 i 个波群的时间能 率密度演化方程，获取各代表点所对应的概率密度
量包络函数，可表示为： 函数 p ZΘ (z,θ i ,t)，i = 1,2,··· , s。
(( ) )
R （7）通过数值积分计算物理量 Z (θ,t)的概率密度
sin t − ∆ω
c i 函数：
F i (t) = （26）
R
t − s ∑
1 c i p Z (z,t) = p ZΘ (z,θ i ,t) （30）
(a+0.5)ω i +b+ ·sin(2cω i ) i=1
4c
其中， c i = 。
2
d ·[a+cos (cω i )] 综上，求解的具体流程如图 3 所示。

实际工程的物理模型
3 结 构 非 线 性 随 机 动 力 响 应 分 析 方 法
建立有限元模型

3.1 概率密度演化方法
根据概率守恒原理及其随机事件描述 [28] ，可导 确定代表点, 概率空间剖分
出量化结构随机动力响应统计特征的广义概率密度
演化方程（GDEE）：
∂p ZΘ (z,θ,t) ∂p ZΘ (z,θ,t) 两尺度随机场模型生成 合成地震动时程样本
+ ˙ Z (θ,t) = 0 （27） 混凝土本构关系
∂t ∂z
T
式中， Θ = [θ 1 ,θ 2 ,θ 3 ,··· ,θ n ] 表示基本随机变量所构成
本构关系赋予各单元 地震动时程赋予有限单元模型
的 随 机 向 量， 其 中 n表 示 随 机 向 量 的 维 数 ； ˙ Z (θ,t) =
求解有限元模型, 获取广义速度
∂Z (θ,t)/∂t表示广义速度，其中 Z (θ,t)为结构动力响应
（例如：层间位移、底部剪力、应力、应变等）； p ZΘ
(z,θ,t)表示 Z (θ,t)与 Θ的联合概率密度函数。 求解广义概率密度演化方程,
获得结构响应的概率密度演化规律
式 (27) 的初始条件为：
p ZΘ (z,θ,t = 0) = δ(Z −Z (0)) p Θ (θ) （28）
响应的统计矩
式中， δ(·)表示狄拉克函数； p Θ (θ)表示基本随机变量 与概率密度函数
的联合概率密度函数。

图 3 非线性随机动力响应分析流程图
3.2 数值实现 Fig. 3 Flow chart for nonlinear stochastic dynamic response
analysis

结合前述量化材料、地震动激励随机性的模型
与概率密度演化方法，本文提出了一种结构非线性 4 数 值 算 例
随机动力响应分析方法。具体的求解步骤为：
（1）建立结构非线性动力响应分析的有限元模型。 利用上述方法对图 4 所示的五层三跨钢筋混凝