Page 164 - 《振动工程学报》2026年第2期

480 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

−1 （21）
H A = −D K q
q
2 辛 体 系 下 的 振 动 控 制 方 程 −1 （22）
H B = −D T p
q
其中：
取层合圆柱壳的轴线方向为主方向，位移基本
T
{ } T D q = D DD ε （23）
ε
变量取 q = u 0 v 0 w 0 ϕ x ϕ θ ，将式 (6) 和 (7) 写
T （24）
K q = D DK ε
ε
为矩阵形式为：
将式 (8) 移项，并写为矩阵形式，为：
F = Dε （10）
T 2 （25）
式中， F表示总内力向量； D表示总刚度矩阵； ε表示 ˙ p = T 1 K T 2 F+ω Mq+ f ext
ε
其中：
总应变向量， ε可根据式 (1)～(4) 改写为：
T 1 = diag(1，1，−1，1，1) （26）
ε = D ε ˙ q+ K ε q （11）
T 2 = diag(1，1，1，1，1，1，−1，−1) （27）
˙
其中， # = ∂#/∂x，#代指所有可能会出现的变量，且：
  将式 (10) 和 (25) 代入到式 (18) 得：
 1 0 0 0 0 
 
   
 0 0 0 0 0   （28）

  ˙ p m = H C q+ H D p m +T p f ext
 
 
 0 1 0 0 0  

 
  其中：
 
 0 0 0 1 

 0   2
  （12） （29）
D ε =  
 0 0 0 0 0  
  H C = ω T p M +ΘK ε −ΘΞK q

 
 
 0 0 0 0  （30）
 

 1   H D = −ΘΞT p
 
 
 0 0 0 0 

 0  
 
  其中：
0 0 1 0 0
T
Θ = T p T 1 K T 2 D （31）
  ε
0 0 0 0 0
 
 
  −1
 ∂ 1  （32）
  Ξ = D ε D
  q
 0 0 0 
 
 
 R∂θ R 
 
 
 ∂  将式 (20) 和 (28) 合写为矩阵形式：
 
 
 
  0 0 0 0  
 R∂θ  

  ˙ z = Hz+ f （33）
 
 0 0 0 0 0 
 
 
   
K ε =   ∂   （13） 其中：
  ( )
 0 0 0 0 
 
  q
 R∂θ 
  （34）
  z =
 ∂ 
 
  p m
 0 0 0 0 
 
 
 R∂θ 
  [ ]
 
 1 ∂ 
 
  H A H B
 0 − 0 1  （35）
  H =
 
 R R∂θ 
  H C
  ( H D )
0 0 0 1 0 0
f = （36）
层合圆柱壳振动的 Lagrange 密度函数可表示为： T p f ext
1 1 式 (35) 中各矩阵的具体表达式如附录所示。其
T
T
T
L = q Mq− ε Dε+ q f ext （14）
2 2 中，矩阵 H B 和 H C 为对称矩阵，且 H A = −H ，所以矩
T
其中： D
  阵 H为 Hamilton 算子矩阵。
 I 0 0 0 I 1 0 
 
   
 0 I 0 0 0 I 1  

 
   
M =  0 0 I 0 0 0   （15）

 
  3 层 合 圆 柱 壳 的 响 应 求 解
 
 
 I 1 0 0 I 2 0 
 
 
 
0 I 1 0 0 I 2
{ } T
f ext = q x q θ q z m x m θ （16） 3.1 辛空间中的波形分析
根据 Legendre 变换，有 p = ∂L/∂ ˙ q，将式 (10)、(11) 首先考虑式 (33) 的齐次形式，即不考虑外力的
和 (14) 代入到 p = ∂L/∂ ˙ q，可得： 作用。可以利用分离变量法求解，状态向量可以写
{ } T
T （17） 为如下的形式：
ε
p = −D F = − N x N xθ Q x M x M xθ
取对偶向量： z(x,θ) = η(θ)e µx （37）
{ } T 式中， µ表示轴向的波传播参数； η(θ)表示广义波形
p m = T p p = −N x N xθ −Q x −M x M xθ （18）
函数。
其中：
将式 (37) 代入到式 (33) 的齐次形式得到：
T p = diag(1，−1，1，1，−1) （19）
容易看出， T p T p = I。 Hη(θ) = µη(θ) （38）
将式 (10)、(11) 和 (17) 代入式 (18)，并移项得： 根据圆柱壳在周向的周期性边界条件， η(θ)可以
（20） 表示为：
˙ q = H A q+ H B p m
imθ
其中： η(θ) = φ m e ,m = 0,±1,±2,... （39）