Page 165 - 《振动工程学报》2026年第2期

第 2 期 高汝鑫，等：层合圆柱壳强迫振动分析的辛空间波方法 481

inθ
式 中， φ m 表 示 周 向 波 数 m对 应 的 波 形 ， 即 第 m阶 波 式 (46) 左侧乘 Φ Je ，并沿周向积分得到：
T
√ { } n
形； i = −1为虚数单位。 e (x) = − 1 JΦ J w 2π f(x,θ)e −inθ dθ （47）
+
n
T
−
将式 (39) 代入式 (38)，可以得到： −e (x) 2π n 0
n
¯ （40） 根据波传播关系，层合圆柱壳边界处的入射波
H m φ m = µφ m
+
−
¯
¯
式中， H m 为 Hamilton 矩阵，由式 (39) 可知， H m 中包含 波幅 a 和 a 可以写为 [38] ：
r,n
l,n
{ + } [ Λ n L ]{ + }
+
对周向波数 m的导数，与圆柱壳的材料属性、周向波 a r,n = e 0 a l,n +Γ （48）
−
a − 0 e −Λ n L a −
数 m和频率 ω有关。 l,n r,n
其中：
式 (40) 可以给出 10 个波形和对应的 10 个波传
w { e Λ n (L−x) + }
+
e (x)
¯
播参数，需要注意的是， H m 的 10 个波传播参数总是 Γ = − n dx （49）
e (x)
x e e −Λ n x − n
成对出现，将其按共轭辛正交关系进行排序，得：
根据波在边界处的反射关系，反射波波幅 a 和
−
[ ] r,n
Λ + 0
( )
Λ m = diag µ m,j ，−µ m,j = m ； j = 1,2,··· ,5 a 与入射波波幅 a 和 a 之间的关系可以表示为：
+
+
−
0 Λ − l,n r,n l,n
m { } [ ]{ }
（41） a + l,n 0 R l n a + r,n （50）
同时，将对应波形排序可以得到波形矩阵： a − r,n = R r n 0 a − l,n
l
r
{ } 式中， R 和 R 分别为圆柱壳两端的波反射矩阵，可
Φ m = diag φ m,j ； j = 1,2,··· ,10 （42） n n
将波形归一化后，其满足： 以表示为 [37] ：
{
)
{ l ( + −1 −
J,i = j R = − Υ l Φ n Υ l Φ n
n
T
Φ JΦ j = ；i, j = 0,±1,±2,··· （43） ( − −1 （51）
)
r
i 0,i , j R = − Υ r Φ n Υ r Φ + n
n
式中， J为单位辛矩阵，可以表示为： 式中， Υ l 和 Υ r 分别表示圆柱壳左右两端处的边界条
[ ]
0 I 件指示矩阵，使得边界上的波幅 v 和 v 满足：
+
−
J = （44） n n
−I 0 [ ] { v + }
Φ + Φ − n = 0；j = l,r （52）
式中，单位辛矩阵满足 J = −J = J −1 [27] 。 Υ j n n v − n
T
式 (39) 中每一个 m对应的解都能满足方程 (38)， 边界条件指示矩阵 Υ j 可以写为分块形式：
所以根据线性微分方程解的叠加原理，可以得到： Υ j = [ Υ j,u Υ j,f ] （53）
+∞
∑
imθ Λ m x
z(x,θ) = Φ m e e C m （45） 对于不同的边界条件，可以表示为：
m=−∞  ( )
 Υ j,u = diag k x ，0，0，0，0
式中， C m 为系数向量。  x : ( )



  Υ j,f = diag 1，1，1，1，1



 ( )
 
3.2 基于辛空间波传播的响应求解   Υ j,u = diag 0，k θ ，0，0，0

 θ : ( )


 Υ j,f = diag 1，1，1，1，1

 
当外力作用在层合圆柱壳上时，首先产生直接    ( )
  Υ j,u = diag 0，0，k r 0，0
 r : ( ) （54）

激励波 [37] ，如图 2 所示， e 和 e 分别表示沿正向和反    Υ j,f = diag 1，1，1，1，1
+
−
n n  
 ( )
 
向传播的直接激励波。将波形矩阵 Φ m 按正向和反   Υ j,u = diag 0，0，0，k ϕ x ，0

 ϕ x : ( )


]
向传播波划分为 [ Φ + m Φ ，根据激励作用处的位移     Υ j,f = diag 1，1，1，1，1
−
m
   ( )
连续性条件和力平衡条件，有：    ϕ θ : Υ j,u = diag 0，0，0，0，k ϕ θ


 ( )
+∞ { } Υ j,f = diag 1，1，1，1，1
+
∑ [ ] e (x)
Φ + Φ − e imθ m = f(x,θ) （46）
m m −e (x) 式中， 、 、 、 和 分别为不同方向上的弹簧
−
m=−∞ m k x k θ k r k ϕ x k ϕ θ

f(x, θ) 刚度。当某一方向的弹簧刚度取足够大时，该方向
−
+
+ e n (x e ) e n (x e ) + +
a 1, n c n a r, n
的自由度被固定。所以，由式 (54) 表示的经典边界
r 条件可以表示为：
( )

θ x    SD : Υ j,u = diag 0，1，1，0，0

 ( )
 Υ j,f = diag 1，0，0，1，1



 ( )


 Υ j,u = diag 1，1，1，0，0
 
 SS : ( )


 Υ j,f = diag 0，0，0，1，1

 （55）
− − −   ( )
a 1, n c n a r, n  
x e  Υ j,u = diag 1，1，1，1，1


x ref  C : ( )

L   Υ j,f = diag 0，0，0，0，0


 ( )


  Υ j,u = diag 0，0，0，0，0
图 2 波在圆柱壳轴向上的传播关系   F : ( )

Υ j,f = diag 1，1，1，1，1

Fig. 2 Wave propagation and reflection along the axial
direction of a laminated circular cylindrical shell 将式 (48) 代入式 (50) 可得：