Page 163 - 《振动工程学报》2026年第2期

第 2 期 高汝鑫，等：层合圆柱壳强迫振动分析的辛空间波方法 479

[1]
较高的计算效率，且其只在周向存在截断误差，在轴 柱壳第 k层截面上任意一点处的应变可以表示为 ：
向是解析的，具有较高的计算精度和较快的收敛速    0   
 ε

 ε x 

   x   κ x 

     






度。为了证明本文方法的有效性和收敛性，给出了  ε θ  =  ε 0 θ  +z  κ θ  （3）






     
   γ 0   
多个具有不同几何和材料参数的正交铺设中厚层合 γ xθ  xθ κ xθ 
 ∂w 0 v 0 


圆 柱 壳 的 数 值 算 例， 对 比 了 本 文 方 法 与 Lévy 解 和 { }  − +ϕ θ 



γ θz  R∂θ R  （4）

=  
FEM 的计算结果，也给出了不同边界条件组合下的 γ xz  ∂w 0 




 
 +ϕ x 
结果。结果表明，本文方法具有良好的精度和收敛 ∂x
式中， z为圆柱壳厚度方向的坐标。

速度，以及对任意边界条件的处理能力。

1.2 物理方程
1 层 合 圆 柱 壳 的 弹 性 力 学 基 本 方 程 根据广义 Hook 定律，第 k层的应力-应变关系可
[1]
以表示为 ：
考虑如图 1 所示的层合圆柱壳，圆柱壳的长度、    
 σ x   ε x 
   
   




半径和厚度分别以 、 h表示。使用如图 1 所示    
L R和
 ε θ 
 σ θ 

   



  ¯   （5）
x θ r）来描述圆柱壳
固定在圆柱壳上的柱坐标系（ ， ，  τ θz  = Q  γ θz 





   





 τ xz 

   γ xz 



的运动，圆柱壳中面沿 3 个坐标方向的位移分别记    




τ xθ γ xθ
为 u 0 、 v 0 和 w 0 ， 中 面 绕 x和 θ轴 的 旋 转 分 别 记 为 ϕ x 和 式中， σ x 、σ θ 、τ θz 、τ xz 、τ xθ 为第 k层截面上的应力； Q为
¯
ϕ θ 。圆柱壳由若干层单层板组成，且假设各层间界 第 k层的弹性矩阵 。将式 (4) 代入式 (5)，并沿厚度
[1]
面是刚结的。 方向进行积分，即可得到中厚层合圆柱壳的内力 N x 、

N θ 、N xθ ， 弯 矩 M x 、M θ 、M xθ 和 扭 矩 Q θ 、Q x ， 表 示 为 ：
   0 
 N x   ε 
   x 
   





L    ε 0 


 N θ 
  θ 
  [ ] 
   

   γ 0 
 
 A ij B ij  xθ  （6）
 N xθ 
  =  
   
 M x  B ij D ij  κ x 
   
   
   
   
  

 M θ 
 κ θ 
r x    




h  M xθ   κ xθ 
{ } [ ]{ }
Q θ A 44 A 45 γ θz （7）
θ = k c
h k+1 Q x A 45 A 55 γ xz
h k
式中， A ij B ij 和 D ij 分别为圆柱壳第 k层的膜刚度、膜
、
R
弯耦合刚度和弯曲刚度，其中， i, j = 1,2,6；A 44 、 A 45 、

5
图 1 复合材料层合圆柱壳示意图 A 5 为圆柱壳第 k层的横向剪切刚度； k c 为剪力修正
Fig. 1 Schematic diagram of a composite laminated circular 系数，一般取为 5/6。对于正交铺设的复合材料层合
[1]
cylindrical shell 壳体，有 A 16 = A 26 = A 45 = D 16 = D 26 = B 16 = B 26 = 0 。

1.3 平衡方程
1.1 几何方程
基于 FSDT，圆柱壳的振动平衡方程可以表示为 ：
[1]
根据一阶剪切变形理论（FSDT），层合圆柱壳中
∂N x 1 ∂N xθ 2 2
[1]
面上的应变可表示为 ： ∂x + R ∂θ + I 0 ω u 0 + I 1 ω ϕ x +q x = 0
  ∂N xθ 1 ∂N θ Q θ
∂u 0 2 2
  + + + I 0 ω v 0 + I 1 ω ϕ θ +q θ = 0
 
 



 ε 0   ∂x  ∂x R ∂θ R




 x   

   
    ∂Q x 1 ∂Q θ N θ
   w 0  2

 ∂v 0

 ε 0 + （1） + − + I 0 ω w 0 +q z = 0

 R∂θ
 θ  =   ∂x R ∂θ R



  
   R 
   
γ   ∂M x 1 ∂M xθ 2 2
 0   
xθ



 ∂u 0
 ∂v 0  + − Q x + I 1 ω u 0 + I 2 ω ϕ x +m x = 0
 
 +  ∂x R ∂θ
R∂θ ∂x
∂M xθ 1 ∂M θ 2 2
+ − Q θ + I 1 ω v 0 + I 2 ω ϕ θ +m θ = 0 （8）
 
∂ϕ x ∂x R ∂θ
 
 
 
x θ和
、 、
、
 
 ∂x  式中， q x q θ q z m x 和 m θ 分别为沿 、 r方向的外
   
 
 
 κ x   
   
   
   ∂ϕ θ  （2） 激励幅值； ω为外激励频率，且：
 κ θ  =  
   R∂θ 
       
   


κ xθ    I 0  N ∑w  1 
    Z k  
     
 ∂ϕ x     
 ∂ϕ θ   I 1  = ρ i  z  dz （9）
 + 
     
R∂θ ∂x   Z k−1  2 




I 2 i=1 z
根据层合圆柱壳中面上的应变公式 (1) 和 (2)，圆 式中 ，ρ i 为第 i层单层圆柱壳的面密度。