Page 166 - 《振动工程学报》2026年第2期

482 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

{ } [ − ] −1 [ ] −2
l
a + I R e −Λ n L 0 R l 10 n=8,10
l,n = n n Γ （56）
r Λ n L
a − R e + I R r 0 −3 n=10,12
r,n n n 10 n=12,14
{ } T
将式 (56) 代入式 (48),可得到波幅 a + r,n a − l,n 。 10 −4
则圆柱壳上一点 x ref 处的总波幅可表示为： 10 −5
{ } [ + ]{ }
c + e Λ n x ref 0 a + 相对误差的绝对值
n = l,n + 10 −6
−
c − 0 e Λ n (x ref −L) a −
n r,n
{ } 10 −7
+
w Λ n (x ref −x e ) +
L e e (x e )
n
0 0 dx e ，x ref > x e 10 −8
（57）
{ + } [ + ]{ + } 10 −9
c n = e Λ n x ref 0 a l,n + 0 200 400 600 800 1000
−
c − n 0 e Λ n (x ref −L) a − r,n 频率 / Hz
{ }
w
L 0 dx e ，x ref ⩽ x e （58） 图 3 不同截断周向波数下参考点响应的相对误差
−
e (x e )
0 e Λ n (x ref −x e ) − n Fig. 3 Relative error of responses at the reference point under
将式 (57) 和 (58) 代入式 (45)，即可得到层合圆柱 different truncation numbers of circumferential waves
壳的振动响应。另外，从式 (45) 可以发现，该方法不
−7
仅可以求得圆柱壳的位移响应，还可以同时获得其 10
内力响应。
10 −8
从以上波传播分析可以看出，本文方法实质是
将层合圆柱壳的二维振动问题转化为一维波传播问 −9
题。不同于模态叠加法（Lévy 解），本文方法解析地 横向位移 / m 10
处理了边界处的波入射-反射关系，所以在轴向不会 本文方法n=12
10 −10 Lévy解方法n=12, (m=10)
产生截断误差，具有较高的计算精度和较快的收敛 Lévy解方法n=12, (m=15)
Lévy解方法n=12, (m=20)
速率，且适用于任意边界条件。 10 −11

0 200 400 600 800 1000
频率 / Hz

4 数 值 算 例 图 4 本文方法和 Lévy 解得到的参考点处的横向位移响应
Fig. 4 Transverse displacement at the reference point
4.1 收敛性和正确性验证 calculated using the present method and Lévy solution
考虑一个两端软简支 (SD-SD) 的反对称正交铺 增加，Lévy 解得出参考点处位移响应曲线逐渐趋于
设中厚层合圆柱壳，圆柱壳的几何尺寸为： R =1 m， 本文方法给出的参考点处位移响应曲线，证明了本
L/R =5， h/R =0.1；圆柱壳的材料参数为： ρ =1700 kg/m ， 文方法具有较高的精度和较快的收敛速率。
3
E 1 =120 GPa， E 1 /E 2 =12， μ 12 = 0.27， G 12 =0.5E 2 ， G 13 =0.5E 2 ， 为进一步验证本文方法的高精度与高收敛速
G 23 =0.2E 2 ， η = 0.02；铺设方案为：0°/90°/0°/90°；外激励 率，选取外激励频率为 600 Hz，分别使用本文方法和
考虑为作用在圆柱壳母线中点处的单位点激励，频 Lévy 解给出的层合圆柱壳母线上的横向位移响应，
率范围为 1～1000 Hz。 如图 5 所示。可以看出，随着 Lévy 解轴向截断模态
以层合圆柱壳母线 3/4 处为参考点，使用本文方法
×10 −9
求解参考点处的横向位移响应。本文方法中的周向截 2.0
断波数 n依次取 8、10、12 和 14。图 3 给出了相邻周
1.6
向波数下参考点频率响应的相对误差。可以看出：随
着轴向波数的增加，相邻周向波数取值下的参考点响 1.2
应相对误差逐渐减小，说明本文方法趋于收敛； 周向 母线上的位移 / m 0.8
波数 n=12~14 的相对误差均已在万分之一以下，所以 本文方法n=12
本文将周向波数取 n=12 时参考点的响应作为收敛解。 0.4 Lévy解方法n=12, (m=20)
Lévy解方法n=12, (m=40)
对 于 两 端 软 简支 (SD-SD) 边 界 条 件 ， 使 用 Lévy 0 Lévy解方法n=12, (m=60)
0 1 2 3 4 5
解作为参考解。Lévy 解需要在两个方向进行模态截 轴向位置 / m

断，为了便于对比，Lévy 解中的周向截断模态与本文
图 5 600 Hz 激励频率下层合圆柱壳母线上的横向位移响应
方法中的周向截断波数相同，即 n=12；Lévy 解中的
分布
轴向截断模态数目 m 依次取 10、15、20。图 4 给出 Fig. 5 Transverse displacement response distribution along the
了本文方法和 Lévy 解得到的参考点处的横向位移 generatrix of a laminated cylindrical shell under 600 Hz
响应，可以看出，随着 Lévy 解轴向截断模态数目的 excitation frequency