Page 16 - 《振动工程学报》2026年第2期

332 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

机动态响应和可靠性评估中，其阐释了结构物理状 差分法 [15] 、数论方法 [16] 等，但考虑解的形式以及研
态随随机变量的演化规律。 究对象，本研究直接给出解析解并用于后续推导和
但在推导 GPDEE 过程中，结构动力学方程不是 分析。讨论方程 (8) 的解析解 [17] ，注意到偏微分方
必要的，因此可以推广到具有随机性的任意时间过 程，形如：
程。在以往的研究中，通常将随机事件中的关键变 ∂p(x,t) +a(t) ∂p(x,t) = 0 （11）
量称之为随机源。而对于一般的动态系统，监测数 ∂t ∂x
存在如下解：
据通过 DLM 的离散系统方程得以表述，于是可以将 [ w t ]
系统状态变量视为概率密度演化理论中所关心的物 p(x,t) = p 0 y− 0 a(t)dt （12）
理量进行分析。 式中，a(t) 为偏微分方程中的时变系数；p 0 为初始概
记状态变量的概率域为 Ω x ，系统噪声项的概率 率信息。
域为 Ω w ，系统状态的概率流动如图 2 所示。取离散 利用式（12）结果，可得式 (8) 的解为：
[ w τ ]
时间段 τ ∈ (t −1,t)，对于随机系统 Ω，在 dτ内流入的概率：
p xw (x t |y t−1 ) = p 0 x t − ˙ x(τ)dτ （13）
0
[ ]
进一步地，确定 x t 及其关于时间的导数，即可通
∂Ω = − p xw (x,w t ,τ | y t−1 ) ˙xdτ · ndS Ω dv t （5）
式中，p x 为广义概率密度函数； dS Ω 为 ∂Ω域内的面
w
过式（13）得出系统状态的先验分布。在本研究中，
积 微 元； n为 ∂Ω的 范 数 ； ˙ x为 x关 于 时 间 τ的 导 数 ；
将 x t 关于时间的导数近似取为：
dv t 为 的体积微元。
v t
X t − X t−1 （14）
˙ x t = T
w
∂Ω 式中，X t 表示 t 时刻的状态值； T 为采样间隔。
Ω 结合 DLM 中的状态方程和观测方程，即可确定
p xw (x t |y t−1 )。

1.3 粒子滤波算法
x

图 2 系统状态在概率空间的描述 粒子滤波作为典型的非线性滤波方法，在处理
Fig. 2 Description of the system state in probability space 非线性问题上有良好的效果。

通过预测步得到先验概率分布 p(x t |y t−1 )后，再由
对于保守系统，没有新增的随机过程，流入的概
如下的贝叶斯公式对状态后验概率进行估计：
率与系统概率增量相等，于是有：
p(y t |x t )p(x t |y t−1 )
w
∂p xw (x,w t ,τ | y t−1 ) p(x t |y t ) = （15）
dxdv t dτ = p(y t |y t−1 )
∂τ
Ω x ×Ω w
w
[ ] 式中， p(y t |x t )表示由观测方程确定的似然函数，且：
− p xw (x,w t ,τ | y t−1 ) ˙xdτ · ndS Ω dv t （6）
Ω x ×Ω w w
利用高斯公式，将曲面积分 dS Ω 转为体积分： p(y t |y t−1 ) = p(y t |x t )p(x t |y t−1 )dx t （16）
x t
w
[ ]
p xw (x,w t ,τ | y t−1 ) ˙xdτ · ndS Ω dv t = 式（16）涉及复杂积分问题，也是推导后验概率
Ω x ×Ω w
w ∂p xw (x,w t ,τ | y t−1 ) 分布的关键。粒子滤波算法通过蒙特卡罗方法避免
˙ x dxdv t dτ （7）
∂x 了贝叶斯递推过程中的高维积分计算，得到粒子后
Ω x ×Ω w
Ω x 作为系统状态概率空间的子域具有任意性， 验概率分布和样本均值，从而估计非线性系统的状
可得出如下广义概率密度演化方程（GPDEE）： 态，达到预测效果。通用的粒子滤波算法基于状态
∂p xw (x,w t ,τ | y t−1 ) ∂p xw (x,w t ,τ | y t−1 )
+ ˙x = 0 （8） 方程和监测方程进行预测和更新，基本流程应包括：
∂τ ∂x
粒子初始化、重要性采样、计算权值、归一化权值、
其初始条件为：
更新和重采样。
p xw (x,w t ,τ|y t−1 ) = δ(x)p x (x t−1 |y t−1 )p w (w t−1 ) （9）
考 虑 到 用 t −1时 刻 的 状 态 变 量 和 观 测 值 借 助
式中， p w (w t )为噪声向量 w t 的概率密度； δ(·)为 Dirac
GPDEE 对预测状态分布进行估计，即 PF 算中前一步
函数。
状态估计已完成。接下来按照粒子滤波算法中的更
一般而言，噪声向量与状态项是相互独立的。
新过程进行：
于是， t时刻系统状态变量的先验分布表示为：
（1）将式 (13) 中系统状态变量的先验分布作为
w
p(x t |y t−1 ) = p xw (x,w t |y t−1 )dv （10） i
Ω w 建议分布，并从中抽取 n个样本 x ，i = 1,2,··· ,n。
t
注 意 到式 (8) 的 解 也 为 系 统 状 态 的 先 验 概 率 。 （2）计算重要性权值，获取 t时刻观测值 时，采
y t
现已发展了许多种求 GPDEE 数值解的方法，如有限 用下式预测粒子权重：