Page 15 - 《振动工程学报》2026年第2期
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第 2 期            周 衡，等：贝叶斯更新广义概率密度演化方程的桥梁健康监测数据动态预测                                        331

              提出了一种使用         Kalman  滤波器和自回归积分移动               有周期趋势的非平稳性能信息的预测要求。因此，
              平均广义自回归条件异方差相结合的时间序列预测                            本研究旨在开发一种适用于带有周期性监测数据的
              模型，提高了对桥梁结构变形的预测精度；XIN                     等 [6]  动态预测模型，实现概率递推过程。本文基于动态
              提出一种基于改进的变分模态分解和条件核密度估                            线性模型（dynamic linear model，DLM）、概率密度演
              计的数据驱动方法，用于预测监测变形数据，避免了                           化理论和粒子滤波算法，提出一种滤波方法，即贝叶
              理 解 结 构 行 为 演 变 的 复 杂 内 部 机 制 。DING       等  [7]  斯 更 新 广 义 密 度 演 化 滤 波（ Bayesian updated genera-
              基于长短期神经网络（LSTM）与经验模态分解，考虑                         lized density evolution filter，BU-GDEF）方法。首先基
              风速与风向的相关性对风力监测数据进行分析，从                            于概率守恒原理，推导了动态系统状态和观测变量
              而实现风向预测。TONELLI 等           [8]  基于预应力混凝土         的广义概率密度演化方程（GPDEE）              [10] ，用于估计状
              桥的监测数据，使用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）                          态变量的先验概率。然后通过贝叶斯公式和                       DLM
              方 法 进 行 贝 叶 斯 推 断， 进 一 步 评 估 结 构 可 靠 性 。          中的监测方程得出状态变量的后验概率分布，当有
              LIU  等  [9]  基于监测到的非周期性数据，通过数据同化                  新的监测数据可用时，可以继续递推，最终对监测变
              方法和贝叶斯方法预测了桥梁结构的可靠指标。                             量的后验概率分布进行估计，实现预测目的，分析流
                  但上述方法存在一些局限性，如不能满足对带                          程如图    1  所示。


                                           预测步                                  更新步
                                          状态方程                                 监测方程
                                                                                y t =x t +v t
                                         x t =f(x t−1 )+w t
                        p(x t−1 |y t−1 )                      p(x t |y t−1 )                     p(x t |y t )
                                          GPDEE                                   贝叶斯公式
                                ∂p xw (x,w t ,τ|y t−1 )  ·  ∂p xw (x,w t ,τ|y t−1 )  p(y t |x t )p(x t |y t−1 )
                                    ∂τ     +x     ∂x    =0                p(x t |y t )=  p(y t |y t−1 )
                                                               递推

                                                   图 1 BU-GDEF  分析示意图
                                             Fig. 1 Schematic diagram of BU-GDEF analysis

                  该理论中贝叶斯递推过程是不确定性问题分析                          f 为状态回归函数；        w t 为  t 时刻的状态误差，     v t 为  t 时
              中广泛应用的方法，其优点在于当随机变量的先验                            刻的监测误差，且误差项均满足零均值的正态分布，
              信息在有新的信息可用时，可以进一步对分布参数                            即 w t ∼ N(0,W t ),v t ∼ N(0,V t )， 其 中 ，  W t 为 状 态 误 差 方
              进行更新，并且后验分布又可作为下一步的先验信                            差， V t 为监测误差方差，利用监测数据平滑处理前后
              息，从而使后验信息的不确定性越来越小，用以估计                           之间的差值近似估计。
              和预测模型的参数值越加精确。值得注意的是，在                                完整的动态线性模型还应包括系统的初始状态
              求解   GPDEE  时，建立的状态方程引入了            Fourier 函数    信息：
              以反映数据的周期性。在计算后验概率的贝叶斯公                                         ( x t−1 |D t−1 ) ∼ N(m t−1 ,C t−1 )  （3）
              式中，复杂积分一般难以求解，本研究采用了粒子滤                           式中，   D t−1 为 t −1时刻及之前有效信息的集合；          m t−1 和
              波（particle filtering，PF）  [11]  算法的基本思路。          C t−1 分别为  t −1时刻状态变量的均值和方差，通过对

                                                                近似状态进行统计分析得出。
              1    算  法  基  本  理  论                                 状态误差的方差        W t 通常要引入折扣因子，可由
                                                                下式计算    [12]  得到：

              1.1    动态线性模型                                                     W t = −C t−1 +C t−1 /γ    （4）
                                                                式中，   γ为折扣因子，与初始状态信息有关，在非线性
                  一般而言，描述动态系统的物理参数随时间连
                                                                系统中，根据经验取为           0.8 [13] ，能够在保证预测精度
              续变化，并在离散的时间点以监测值体现。动态线
                                                                的前提下极大增加算法的鲁棒性。
              性模型可以很好地表述这一过程。一般动力系统的
              离散状态方程和观测方程，可以分别表示为：                              1.2    广义概率密度演化方程及其解

                                                       （1）
                               x t = f(x t−1 )+w t                      [14]
                                                                    LI 等   最早基于概率守恒原理提出概率密度演
                                                       （2）      化理论，在处理随机系统的可靠性以及不确定分析
                                 y t = x t +v t
              式中，   x t 和 分别为   t 时刻的状态变量和监测变量；                 问题上有显著优势，现已广泛应用于工程结构的随
                       y t
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