Page 76 - 《振动工程学报》2025年第11期

2534 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

推导出：
原始 幅值 / V 
′
波形  φ (t),




时间 / s  [ ]


 ω d (t,ω) ω d (t,ω)
 ′ ′ ；

 ω ∈ φ (t)− ,φ (t)+
 2 2
ˆ ω e (t,ω) = 
σ −1 


|c(t, ω)|  g
 ˜ V (t,ω) , 0

 s f




f s /2  0；其他
（35）
|c(t, ω)| 如果在 [φ (t)−ω d /2,φ (t)+ω d /2]的范围内搜索对
频率 / Hz 频率 / Hz
′
′
分量 T s 应 最 大 值 的 时 频 点， 恰 好 是 (t,φ (t))。 此 时 ，
′
归类 ˆ ω e (t,ω)
> 与 信 号 的 真 实 瞬 时 频 率 是 一 致 的 。 与 文献 [17] 相
|c(t, ω)| σ −1
f s /2 比，式 (34) 是根据初始能量扩散特性自适应调节搜
索范围，可避免范围过小时能量的泄漏和重构准确
性，同时防止范围过大可能造成相邻较近的各个分
时间 / s 时间 / s T s
调频率估计 属性识别 量之间的能量发生混叠，并且增加计算时间。
谐波类分量 脉冲类分量 同样地，根据式 (18) 可见，频域 STFT 幅值会在
频率 / Hz 时频点 (−φ (ω),ω)处达到其最大值，即
′
√
时频 V F (t, ω) 频率 / Hz ˜ V (t,ω) max = A 2σπ ,t = −φ (ω) （36）
ˆ g
′
频率 / Hz V T (t,ω) 基于式 (36)，构建一种新的群延迟估计算子如下式
结果 ˆ s f (1+σ c )
2 2 1/2
时间 / s 时间 / s 时间 / s 所示：
双向压缩变换
 ˆ g
 argmax( ˜ V (t,ω)),

图 3 阈值优化的双向压缩变换策略  t ˆ s f





 [ ]

Fig. 3 The threshold-optimized bi-directional maximal  t d (t,ω) t d (t,ω)

 ；
 t ∈ t − ,t + （37）

squeezing transform strategy ˆ t e (t,ω) =  2 2




 ˆ g

 ˜ V (t,ω) , 0
准 确 定 位 瞬 时 频 率 和 群 延 迟 的 脊 线 。 此 时， Bi-  ˆ s f




 0；其他
SST 难 以 取 得 理 想 的 聚 集 效 果 。 考 虑 到 实 际 振 动
信号大多具有强时变或强频变特性，本节提出了基 当任意两种模式具有足够的时间间隔从而能够
，
于局部最大准则的瞬时频率与群延迟自适应估计 很好地分离时，对于 ω ∈ R g(t) ⩽ g(0)。可以推导出：
 ′
算子。  −φ (ω),



 [ ]
 t d (t,ω) t d (t,ω)

首先，由式 (18) 和 (20) 可知，信号 STFT 能量沿  ′ ,−φ (ω)+ ；
′

 t ∈ −φ (ω)−

2 2

其瞬时频率脊线在 [ φ (t)−ω d (t,ω),φ (t)+ω d (t,ω) 范围 ˆ t e (t,ω) =  ˆ g
]
′
′


 ˜ V (t,ω) , 0


 ˆ s f
内向两侧逐渐衰减。其中 STFT 振幅在时频点 (t,φ (t)) 
′



 0；其他
处会达到最大值，如下式所示： （38）
√ 从式 (38) 可以看出， ˆ t e (t,ω)将高度逼近信号的真
2σπ
g
′
˜ V (t,ω) max = A ,ω = φ (t) （33）
′
(1+σ c )
s f 2 2 1/2 实群延迟 −φ (ω)。图 4 和 5 分别刻画了信号瞬时频
率与群延迟的估计范围对分辨率提升的作用机制，
基于式 (33)，构建了一种新的瞬时频率估计算子
所用信号表达式如式 (13) 和 (14) 所示。由图 4(a) 可
如下式所示：
知，对于强时变信号，不同调频率分量的能量扩散具
g
 argmax( ˜ V (t,ω))，

 s f
 有显著差异：固定的瞬时频率估计范围难以兼顾所
 ω



 [ ]

 ω d (t,ω) ω d (t,ω) 有时频区域，缩小估计范围会忽略部分能量，而扩大

 ；

 ω ∈ ω− ,ω+ （34）
2 2
ˆ ω e (t,ω) = 
 估计范围则会增加计算耗时。图 4(b) 呈现了基于能



 g
 ˜ V (t,ω) , 0

 量扩散的自适应估计范围，可有效平衡瞬时频率估
 s f



 0；其他 计精度与计算效率。针对图 5(a) 和 (b) 中群延迟的
假设任意两种模式具有足够的频率间隔，从而 估计范围，亦可得到类似结论。通过动态调整瞬时
能够很好地分离。考虑到窗函数的傅里叶变换在时 频率与群延迟的估计范围，能够在保证时频分辨率
，
间零点达到最大值，即对于 t ∈ R ˆg(ω) ⩽ ˆg(0)。从而 的前提下节约计算成本。